Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[ \begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & 8\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema homogêneo A X=0, com
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\\\ 2 & 5 & 3\\\\ 1 & 0 & 8 \end{pmatrix}
e pede para determinar se o espaço solução é uma reta pela origem, um plano pela origem ou apenas a origem.
O conteúdo envolvido é o cálculo do posto de A e, consequentemente, da dimensão do núcleo de A. Para isso, podemos usar o determinante (já que A é 3\times3) ou eliminação de Gauss.

Passo 2

Vamos calcular o determinante de A por expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 0 & 8\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 8\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}5 & 3\\\ 0 & 8\end{pmatrix}=5\cdot8-3\cdot0=40,
\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 8\end{pmatrix}=2\cdot8-3\cdot1=16-3=13,
\det\begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & 0\end{pmatrix}=2\cdot0-5\cdot1=-5.
Logo,
\det(A)=1\cdot40-2\cdot13+3\cdot(-5) =40-26-15=-1\neq0.

Passo 3

Como \det(A)\neq0, o posto de A é 3 (posto máximo para matriz 3\times3). Pela Teoria do Núcleo e Imagem temos
\dim\ker(A)=n-\rank(A)=3-3=0.
Isto significa que a única solução do sistema homogêneo é o vetor nulo.

Resposta

O espaço solução é somente a origem.

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