Determine se o espaço solução do sistema A X=0 é uma reta pela origem, um plano pela origem ou somente a origem. Se for um plano, obtenha a equação desse plano; se for uma reta, obtenha equações paramétricas dessa reta.
A=\left[ \begin{array}{lll}1 & -3 & 1 \\ 2 & -6 & 2 \\ 3 & -9 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema homogêneo
A X = 0,
onde
A = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 1\\\\ 2 & -6 & 2\\\\ 3 & -9 & 3 \end{pmatrix},
e determinar se o espaço solução é apenas a origem, uma reta ou um plano pela origem. O conteúdo aqui é cálculo de posto de matriz e aplicação do Teorema da Dimensão (Teorema do Núcleo e Imagem).

Passo 2

Vamos calcular o posto de A observando suas linhas. Note que
\text{linha}_2 = 2\cdot\text{linha}_1, \quad \text{linha}_3 = 3\cdot\text{linha}_1.
Isso mostra que todas as linhas são múltiplos da primeira, logo somente uma é linearmente independente. Portanto
\operatorname{rank}(A) = 1.

Passo 3

Pela relação de dimensão para um sistema 3\times3 homogêneo,
\dim(\ker A) = n - \operatorname{rank}(A) = 3 - 1 = 2.
Como a dimensão do núcleo é 2, o espaço solução é um plano passando pela origem.

Passo 4

Para obter a equação desse plano, basta usar a equação da primeira linha de A:
1\cdot x_1 - 3\cdot x_2 + 1\cdot x_3 = 0.
Logo o núcleo de A é o conjunto
\{(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{R}^3\mid x_1 - 3x_2 + x_3 = 0\}.

Resposta

O espaço solução é um plano pela origem, cuja equação é
x_1 - 3x_2 + x_3 = 0.

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