A=\left[\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ -6 & 4 & 13 \end{array}\right]
(a) Encontre a inversa de A;
(b) Use a matriz inversa encontrada no item anterior para resolver o sistema A X=B, onde
X=\left[\begin{array}{l} x \\\ y \\\ z \end{array}\right] \quad \text { e } \quad B=\left[\begin{array}{c} -2 \\\\ 0 \\\\ 3 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix}-1 & 1 & 2 \\\\ 1 & 0 & -2 \\\\ -6 & 4 & 13\end{pmatrix}
e pede
(a) a inversa de A;
(b) a solução do sistema A\,X=B, onde
X=\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} e B=\begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}.
Para (a) vamos usar o método de determinante e adjunta; para (b) basta calcular X=A^{-1}B.

Passo 2

Calculamos \det(A) pela expansão na segunda linha:
\det(A) =1\cdot(-1)^{2+1}\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 4&13\end{pmatrix} +0 +(-2)\cdot(-1)^{2+3}\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ -6&4\end{pmatrix}.
Como
\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 4&13\end{pmatrix}=5
e
\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ -6&4\end{pmatrix}=2,
segue
\det(A) = -5 + 2\cdot2 = -1.
Como \det(A)\neq0, A é invertível.

Passo 3

Calculamos os cofactores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de A. Os valores obtidos são
C=\begin{pmatrix} 8 & -1 & 4\\\\ -5 & -1 & -2\\\\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix},
então
\displaystyle \operatorname{adj}(A)=C^T.
Logo
A^{-1} =\frac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A) =-1\cdot \begin{pmatrix} 8 & -5 & -2\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ 4 & -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 2\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver X=A^{-1}B, fazemos o produto
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -8 & 5 & 2\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22\\\ -2\\\ 11\end{pmatrix}.

Resposta

(a)
A^{-1}=\begin{pmatrix} -8 & 5 & 2\\\\ 1 & 1 & 0\\\\ -4 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
(b)
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}22\\\ -2\\\ 11\end{pmatrix}.

Exercícios relacionados