Encontre uma equação que relacione a, b e c tal que o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} x+2 y-3 z=a \\\\ 2 x+3 y+3 z=b \\\\ 5 x+9 y-6 z=c \end{array}\right.
seja compatível para quaisquer valores de a, b e c que satisfaçam a equação.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x + 2y - 3z = a,\\\\ 2x + 3y + 3z = b,\\\\ 5x + 9y - 6z = c, \end{cases}
e pede uma condição entre a,b,c para que o sistema seja compatível. O conteúdo é Álgebra Linear, mais especificamente a condição de compatibilidade via posto da matriz de coeficientes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\\\ 2 & 3 & \;3\\\\ 5 & 9 & -6 \end{pmatrix}.
Como
\det(A) = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}3&3\\\ 9&-6\end{pmatrix} -2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&3\\\ 5&-6\end{pmatrix} -3\cdot\det\!\begin{pmatrix}2&3\\\ 5&9\end{pmatrix} = -45 + 54 - 9 = 0,
temos \rank(A)<3. Logo o sistema só é compatível se o vetor dos termos constantes (a,b,c) obedecer à mesma dependência linear que as linhas (ou colunas) de A.

Passo 3

Observamos que as linhas de A satisfazem
\text{linha}_3 = 3\cdot\text{linha}_1 + 1\cdot\text{linha}_2.
Para manter a igualdade ao passar para o vetor de termos independentes, devemos ter
c = 3a + b.

Resposta

A condição de compatibilidade é
c = 3a + b.

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