Resolva os sistemas, usando a regra de Cramer.
\left\{\begin{aligned} y+2 z & =1 \\\\ 2 x+4 y+z & =0 \\\ x+2 y & =1\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
\begin{cases} y + 2z = 1,\\\\ 2x + 4y + z = 0,\\\ x + 2y = 1 \end{cases}
usando a regra de Cramer. O conteúdo é cálculo de determinantes para obter x, y e z. Precisamos encontrar o determinante da matriz dos coeficientes ( D) e, em seguida, os determinantes D_x, D_y e D_z, substituindo a coluna correspondente pelos termos independentes.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}
e calculamos
D = \det(A) = 0\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = 0\cdot(4\cdot0-1\cdot2)-1\cdot(2\cdot0-1\cdot1)+2\cdot(2\cdot2-4\cdot1) = 1.

Passo 3

Para x, substituímos a 1ª coluna de A pelos termos independentes (1,0,1):
D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\\\ 0 & 4 & 1 \\\\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 1\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 1 \\\\ 2 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 4 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = -9.
Logo,
x = \frac{D_x}{D} = -9.

Passo 4

Para y, substituímos a 2ª coluna de A pelos termos independentes:
D_y = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\\\ 2 & 0 & 1 \\\\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0\cdot\det\!\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} +2\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = 5.
Portanto,
y = \frac{D_y}{D} = 5.

Passo 5

Para z, substituímos a 3ª coluna de A pelos termos independentes:
D_z = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\\\ 2 & 4 & 0 \\\\ 1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 0\cdot\det\!\begin{pmatrix}4 & 0 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} -1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 0 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix} +1\cdot\det\!\begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 1 & 2\end{pmatrix} = -2.
Assim,
z = \frac{D_z}{D} = -2.

Resposta

x = -9,\quad y = 5,\quad z = -2

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