Quais das seguintes matrizes são antissimétricas?
(a) \left[\begin{array}{rr}1 & 2 \\\\ -2 & 3\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: identificar quais das matrizes apresentadas são antissimétricas. Foi dada a matriz (a) abaixo; vamos trabalhar com ela:
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}
Informações relevantes fornecidas: os elementos da matriz são \;a_{11}=1,\;a_{12}=2,\;a_{21}=-2,\;a_{22}=3\;.]

Passo 2

Definição e condição que vamos usar (aulas rápidas, sem pânico):
Uma matriz A é chamada de antissimétrica (ou skew‑simétrica) se ela satisfaz
A^{T} = -A.
Explicando: A^{T} é a transposta de A, que troca linhas por colunas; em termos de elementos, a condição acima diz que, para todo par de índices i,j,
a_{ji} = -a_{ij}.
Deduções úteis que nos ajudam na prova rápida: tomando i=j na condição, obtemos
a_{ii} = -a_{ii}\quad\Rightarrow\quad 2a_{ii}=0\quad\Rightarrow\quad a_{ii}=0.
Ou seja: todas as entradas na diagonal principal de uma matriz antissimétrica precisam ser 0. Isso já é um teste rápido e poderoso.

Passo 3

Vamos calcular a transposta de A. Trocar linhas por colunas dá:
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & -2 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix}.
Expliquei antes: a entrada (1,2) vira (2,1), etc. Aqui usei os valores que listei no Passo 1.]

Passo 4

Agora calculo -A (multiplicar cada entrada por -1):
- A = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Comparação elemento a elemento entre A^{T} e -A:
  • Entrada (1,1): em A^{T} temos 1; em -A temos -1. Claramente 1 \neq -1.
  • Pela dedução do Passo 2, outra verificação rápida: a diagonal de uma matriz antissimétrica deve ser zero; aqui a_{11}=1 e a_{22}=3, ambos diferentes de zero.
  • Mesmo sem checar as outras posições, já vemos que a condição A^{T} = -A não é satisfeita porque as entradas da diagonal não obedecem a a_{ii}=0.

Passo 6

Resumo didático e dica para a prova: sempre comece checando a diagonal. Se algum a_{ii}\neq 0, a matriz não é antissimétrica e você pode encerrar rápido. Para aprender com um exemplo positivo, a matriz
\begin{pmatrix}0 & 2 \\[4pt] -2 & 0\end{pmatrix}
é antissimétrica porque a transposta troca os 2 com -2 e a diagonal é zero, então A^{T}=-A. Força aí — com esse truque da diagonal você economiza tempo na prova!]

Resposta

A matriz (a) não é antissimétrica.

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