Se
, determine
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede para determinar
Informações relevantes fornecidas:
- A é uma matriz
com entradas explícitas. - É preciso calcular a inversa
, somá‑la a e elevar o resultado ao cubo.]
Passo 2
Calcular
. Lembrete rápido sobre inversa de matriz
:
Para uma matriz
com determinante
, vale
Aplicando isso a
: aqui
,
,
,
. O determinante é
logo a inversa existe e é
Explicação didática: por ser diagonal, a inversa troca cada entrada diagonal pelo seu recíproco; como
e
, tem‑se
.]
Passo 3
Calcular a soma
. Como vimos
, então
Propriedade usada: soma de matrizes iguais é o dobro da matriz; isto é,
. Explicitamente,
Passo 4
Elevar ao cubo:
. Usar propriedades:
- Produto escalar e potência:
para escalar , matriz e inteiro .
Portanto
Passo 5
Calcular
. Primeiro
:
onde
é a matriz identidade
. Então
Intuição: para uma matriz diagonal com entradas
e
, as potências apenas elevam cada entrada à potência; como
e
,
e
.]
Passo 6
Combinar resultados: de
e
segue
Escrevendo a matriz final: