Se A=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right], determine \left(A+A^{-1}\right)^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}
e pede para determinar
\bigl(A+A^{-1}\bigr)^{3}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A é uma matriz 2\times2 com entradas explícitas.
  • É preciso calcular a inversa A^{-1}, somá‑la a A e elevar o resultado ao cubo.]

Passo 2

Calcular A^{-1}. Lembrete rápido sobre inversa de matriz 2\times2:
Para uma matriz \begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix} com determinante \det=a d-b c\neq0, vale
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Aplicando isso a A: aqui a=1, b=0, c=0, d=-1. O determinante é
\det(A)=1\cdot(-1)-0\cdot0=-1\neq0,
logo a inversa existe e é
A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}-1 & 0\\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & -1\end{pmatrix}=A.
Explicação didática: por ser diagonal, a inversa troca cada entrada diagonal pelo seu recíproco; como 1^{-1}=1 e (-1)^{-1}=-1, tem‑se A^{-1}=A.]

Passo 3

Calcular a soma A+A^{-1}. Como vimos A^{-1}=A, então
A+A^{-1}=A+A=2A.
Propriedade usada: soma de matrizes iguais é o dobro da matriz; isto é, M+M=2M. Explicitamente,
2A=2\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]0 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 4

Elevar ao cubo: \bigl(A+A^{-1}\bigr)^{3}=(2A)^{3}. Usar propriedades:
  • Produto escalar e potência: (cM)^{k}=c^{k}M^{k} para escalar c, matriz M e inteiro k\ge1.
    Portanto
(2A)^{3}=2^{3}A^{3}=8A^{3}.

Passo 5

Calcular A^{3}. Primeiro A^{2}:
A^{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+0\cdot(-1)\\[4pt]0\cdot1+(-1)\cdot0 & 0\cdot0+(-1)\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I,
onde I é a matriz identidade 2\times2. Então
A^{3}=A^{2}A=IA=A.
Intuição: para uma matriz diagonal com entradas 1 e -1, as potências apenas elevam cada entrada à potência; como 1^{2}=1 e (-1)^{2}=1, A^{2}=I e A^{3}=A.]

Passo 6

Combinar resultados: de (2A)^{3}=8A^{3} e A^{3}=A segue
\bigl(A+A^{-1}\bigr)^{3}=8A.
Escrevendo a matriz final:
8A=8\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & -1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & -8\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix}8 & 0\\[4pt]0 & -8\end{pmatrix}]

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