Sendo A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\ x & x\end{array}\right], determine os valores de x tais que A+A^{-1}=\left[\begin{array}{ll}3 & 0 \\\\ 0 & 3\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\\ x & x\end{pmatrix}
e pede os valores de x tais que
A + A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • A expressão envolve A^{-1}, então a existência do inverso é obrigatória (ou seja, o determinante de A não pode ser zero).
  • Precisamos encontrar todos os x que façam a igualdade matricial ocorrer, ou seja, todas as entradas correspondentes das matrizes devem ser iguais.]

Passo 2

Lembrete útil (fórmula do inverso de uma matriz 2\times2):
Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix},
então o determinante é \det(M)=ad-bc. O inverso existe somente se \det(M)\neq 0, e nesse caso
M^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}.
Aqui cada símbolo significa:
  • a,b,c,d são as entradas da matriz M conforme a posição;
  • \det(M) é um número (o determinante) que indica se a matriz é invertível;
  • M^{-1} é a matriz inversa, tal que M M^{-1}=I.
Vamos aplicar isso à nossa matriz A.

Passo 3

Calcular o determinante de A. Para
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\\ x & x\end{pmatrix}
temos
\det(A)=2\cdot x - 1\cdot x = 2x - x = x.
Portanto o inverso existe somente se x\neq 0. (Se x=0 a matriz não tem inverso e a igualdade pedida não faria sentido.)
Agora aplicar a fórmula do inverso:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}x & -1 \\\\ -x & 2\end{pmatrix} =\frac{1}{x}\begin{pmatrix}x & -1 \\\\ -x & 2\end{pmatrix}.
Simplificando cada entrada:
A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -\dfrac{1}{x} \\[6pt] -1 & \dfrac{2}{x}\end{pmatrix}, \qquad\text{válido para }x\neq 0.á]

Passo 4

Calcular A + A^{-1} somando termo a termo:
A + A^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 1 \\\ x & x\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 & -\dfrac{1}{x} \\[6pt] -1 & \dfrac{2}{x}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2+1 & 1-\dfrac{1}{x} \\[6pt] x-1 & x+\dfrac{2}{x}\end{pmatrix}.
Simplificando a primeira entrada:
A + A^{-1} = \begin{pmatrix}3 & 1-\dfrac{1}{x} \\[6pt] x-1 & x+\dfrac{2}{x}\end{pmatrix}.]

Passo 5

Impor a igualdade com a matriz alvo
\begin{pmatrix}3 & 1-\dfrac{1}{x} \\[6pt] x-1 & x+\dfrac{2}{x}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix}.
Comparando entrada por entrada obtemos o sistema (sempre lembrando x\neq 0):
1-\dfrac{1}{x}=0,\qquad x-1=0,\qquad x+\dfrac{2}{x}=3.
A primeira e a segunda equações vêm das posições (1,2) e (2,1); a terceira é da posição (2,2). A posição (1,1) já bate automaticamente pois 3=3.]

Passo 6

Resolver as equações:
  • Da segunda equação x-1=0 vem imediatamente x=1.
  • Da primeira equação 1-\dfrac{1}{x}=0 temos \dfrac{1}{x}=1, logo x=1.
  • A terceira equação é uma quadrática quando multiplicada por x:
x+\dfrac{2}{x}=3 \quad\Longrightarrow\quad x^2+2=3x \quad\Longrightarrow\quad x^2-3x+2=0.
Fatorando,
x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0,
portanto x=1 ou x=2.
Agora cruzamos as informações: a primeira e a segunda equações exigem x=1. A terceira permite x=1 ou x=2. Assim, a única solução comum às três equações é x=1. Além disso x=1 satisfaz a condição de invertibilidade ( x\neq 0). O valor x=2 falha nas entradas (1,2) e (2,1), portanto não resolve a igualdade matricial.

Passo 7

Verificação rápida com x=1:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\qquad A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & -1 \\\\ -1 & 2\end{pmatrix}
(observou-se A^{-1} neste caso pela fórmula com x=1). Somando:
A + A^{-1} = \begin{pmatrix}2+1 & 1-1 \\[4pt] 1-1 & 1+2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 0 \\[4pt] 0 & 3\end{pmatrix},
confirmando que x=1 funciona.]

Resposta

x=1

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