Sendo
, determine os valores de
tais que
.
Passo 1
O enunciado dá a matriz
e pede os valores de
tais que
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - A expressão envolve
, então a existência do inverso é obrigatória (ou seja, o determinante de não pode ser zero). - Precisamos encontrar todos os
que façam a igualdade matricial ocorrer, ou seja, todas as entradas correspondentes das matrizes devem ser iguais.]
Passo 2
Lembrete útil (fórmula do inverso de uma matriz
):
Se
Se
então o determinante é
. O inverso existe somente se
, e nesse caso
Aqui cada símbolo significa:
-
são as entradas da matriz conforme a posição; -
é um número (o determinante) que indica se a matriz é invertível; -
é a matriz inversa, tal que .
Vamos aplicar isso à nossa matriz
.
Passo 3
Calcular o determinante de
. Para
temos
Portanto o inverso existe somente se
. (Se
a matriz não tem inverso e a igualdade pedida não faria sentido.)
Agora aplicar a fórmula do inverso:
Simplificando cada entrada:
Passo 4
Calcular
somando termo a termo:
Simplificando a primeira entrada:
Passo 5
Impor a igualdade com a matriz alvo
Comparando entrada por entrada obtemos o sistema (sempre lembrando
):
A primeira e a segunda equações vêm das posições (1,2) e (2,1); a terceira é da posição (2,2). A posição (1,1) já bate automaticamente pois
.]
Passo 6
Resolver as equações:
- Da segunda equação
vem imediatamente . - Da primeira equação
temos , logo . - A terceira equação é uma quadrática quando multiplicada por
:
Fatorando,
portanto
ou
.
Agora cruzamos as informações: a primeira e a segunda equações exigem
. A terceira permite
ou
. Assim, a única solução comum às três equações é
. Além disso
satisfaz a condição de invertibilidade (
). O valor
falha nas entradas (1,2) e (2,1), portanto não resolve a igualdade matricial.
Passo 7
Verificação rápida com
:
(observou-se
neste caso pela fórmula com
). Somando:
confirmando que
funciona.]