Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial V, considere sempre as operações usuais nos espaços.
V=\mathbb{R}^{3},\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x+y-z=2\right\}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial ambiente é V=\mathbb{R}^{3}.
  • O subconjunto a verificar é W=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}: x+y-z=2\}.
    A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V (uso as operações usuais em \mathbb{R}^{3}).

Passo 2

Lembrete do que significa ser subespaço (a parte didática que vai salvar na prova).
Um subconjunto W\subseteq V é subespaço vetorial de V se e somente se as três condições seguintes forem satisfeitas:
  1. W não é vazio (em particular, o vetor nulo \mathbf{0}=(0,0,0) deve pertencer a W).
  2. W é fechado sob soma: se \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W, então \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se \mathbf{u}\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha\mathbf{u}\in W.
Explicação curta do porquê: um subespaço é ele próprio um espaço vetorial com as mesmas operações. Assim deve conter o zero (pois 0\cdot \mathbf{u}=\mathbf{0} para qualquer \mathbf{u}\in W), e operações internas não podem sair de W.

Passo 3

Verificação do vetor nulo (teste mais rápido e decisivo aqui).
Calcular a soma das coordenadas de \mathbf{0}:
0+0-0=0.
Como 0\neq 2, segue que \mathbf{0}\notin W. Portanto a condição 1 falha: W não contém o vetor nulo.
Observação importante (técnica): se um conjunto não contém o vetor nulo, ele não pode ser subespaço — isso já é suficiente para concluir. Mas vou também mostrar exemplos concretos de falha nas outras propriedades para fixar a intuição.

Passo 4

Contraexemplo de não fechamento por soma (didático e bom para a prova).
Escolho dois vetores em W. Verifico primeiro que pertencem:
\mathbf{u}=(2,0,0)\quad\text{porque}\quad 2+0-0=2,
\mathbf{v}=(0,2,0)\quad\text{porque}\quad 0+2-0=2.
Logo \mathbf{u}\in W e \mathbf{v}\in W. Agora some:
\mathbf{u}+\mathbf{v}=(2,2,0).
Verifico a equação definidora:
2+2-0=4\neq 2.
Portanto \mathbf{u}+\mathbf{v}\notin W. Conclusão: W não é fechado sob soma.

Passo 5

Contraexemplo de não fechamento por multiplicação escalar (mais intuição).
Pegue \mathbf{u}=(2,0,0)\in W como acima e o escalar \alpha=2. Então
\alpha\mathbf{u}=2\cdot(2,0,0)=(4,0,0),
e
4+0-0=4\neq 2,
logo 2\mathbf{u}\notin W. Conclusão: W não é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Interpretação geométrica rápida (ajuda a memorizar): a equação x+y-z=2 define um plano em \mathbb{R}^{3} que não passa pela origem — é um plano afim deslocado. Subespaços lineares correspondem a planos (ou retas) que passam pela origem; a versão homogênea x+y-z=0 seria um subespaço, mas com o termo constante 2 obtém-se um deslocamento que quebra as propriedades lineares.

Resposta

W não é subespaço vetorial de V.

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