Verifique em cada um dos itens abaixo se o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço vetorial
, considere sempre as operações usuais nos espaços.
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial ambiente é
. - O subconjunto a verificar é
.
A pergunta é: verificar seé um subespaço vetorial de (uso as operações usuais em ).
Passo 2
Lembrete do que significa ser subespaço (a parte didática que vai salvar na prova).
Um subconjunto é subespaço vetorial de
se e somente se as três condições seguintes forem satisfeitas:
Um subconjunto
-
não é vazio (em particular, o vetor nulo deve pertencer a ). -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e , então .
Explicação curta do porquê: um subespaço é ele próprio um espaço vetorial com as mesmas operações. Assim deve conter o zero (pois
para qualquer
), e operações internas não podem sair de
.
Passo 3
Verificação do vetor nulo (teste mais rápido e decisivo aqui).
Calcular a soma das coordenadas de :
Calcular a soma das coordenadas de
Como
, segue que
. Portanto a condição 1 falha:
não contém o vetor nulo.
Observação importante (técnica): se um conjunto não contém o vetor nulo, ele não pode ser subespaço — isso já é suficiente para concluir. Mas vou também mostrar exemplos concretos de falha nas outras propriedades para fixar a intuição.
Passo 4
Contraexemplo de não fechamento por soma (didático e bom para a prova).
Escolho dois vetores em . Verifico primeiro que pertencem:
Escolho dois vetores em
Logo
e
. Agora some:
Verifico a equação definidora:
Portanto
. Conclusão:
não é fechado sob soma.
Passo 5
Contraexemplo de não fechamento por multiplicação escalar (mais intuição).
Pegue como acima e o escalar
. Então
Pegue
e
logo
. Conclusão:
não é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Interpretação geométrica rápida (ajuda a memorizar): a equação
define um plano em
que não passa pela origem — é um plano afim deslocado. Subespaços lineares correspondem a planos (ou retas) que passam pela origem; a versão homogênea
seria um subespaço, mas com o termo constante
obtém-se um deslocamento que quebra as propriedades lineares.