Resolva a equaçāo matricial:
\left[\begin{array}{ll} 3 & 4 \\\\ 2 & 3 \end{array}\right] x=\left[\begin{array}{l} -1 \\\\ -1 \end{array}\right]

Passo 1

O problema pede para resolver a equação matricial
\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} x = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • A matriz dos coeficientes é A=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}.
  • O vetor incógnita é x=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix} (não conhecido).
  • O vetor do lado direito é b=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
    Pergunta: encontrar o vetor x que satisfaz A x = b.]

Passo 2

Escolha do método: para um sistema 2\times2 o método mais direto e elementar é a Regra de Cramer (ou calcular a inversa da matriz 2\times2). Vou usar a Regra de Cramer porque é simples de aplicar manualmente e não exige eliminação longa. Breve explicação do que é a Regra de Cramer: para o sistema linear A x=b com A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}, define-se o determinante
\det(A)=ad-bc.
Se \det(A)\neq0, existe solução única e as componentes são
x_1=\frac{\det(A_1)}{\det(A)},\qquad x_2=\frac{\det(A_2)}{\det(A)},
onde A_1 é A com a primeira coluna substituída por b e A_2 é A com a segunda coluna substituída por b. Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Calcular o determinante de A. Para A=\begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix} vale
\det(A)=3\cdot 3 - 4\cdot 2.
Compute cada produto: 3\cdot 3 = 9 e 4\cdot 2 = 8. Então
\det(A)=9-8=1.
Como \det(A)=1\neq 0, existe solução única e podemos usar Cramer.]

Passo 4

Construir A_1 e A_2 e calcular seus determinantes.
  • A_1 é A com a primeira coluna trocada por b:
A_1=\begin{pmatrix}-1 & 4\\[4pt]-1 & 3\end{pmatrix}.
O determinante de A_1 é
\det(A_1)=(-1)\cdot 3 - 4\cdot(-1).
Calcular: (-1)\cdot 3 = -3 e 4\cdot(-1) = -4, então
\det(A_1) = -3 - (-4) = -3 + 4 = 1.
  • A_2 é A com a segunda coluna trocada por b:
A_2=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]2 & -1\end{pmatrix}.
O determinante de A_2 é
\det(A_2)=3\cdot(-1) - (-1)\cdot 2.
Calcular: 3\cdot(-1)=-3 e (-1)\cdot 2 = -2, então
\det(A_2) = -3 - (-2) = -3 + 2 = -1.]

Passo 5

Aplicar as fórmulas de Cramer:
x_1=\frac{\det(A_1)}{\det(A)}=\frac{1}{1}=1, \qquad x_2=\frac{\det(A_2)}{\det(A)}=\frac{-1}{1}=-1.
Portanto a solução é x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificação rápida por substituição (confirmação): calcular A x com x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
A x = \begin{pmatrix}3 & 4\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\cdot 1 + 4\cdot(-1)\\[6pt]2\cdot 1 + 3\cdot(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3-4\\[4pt]2-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\[4pt]-1\end{pmatrix},
que coincide com o lado direito b. Solução verificada.]

Resposta

x=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}]

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