Dica: evite séries completas — use limite fundamental com refinamento.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão é a razão entre o numerador
e o denominador . - Quando
temos e , logo o numerador tende a e o denominador tende a : a forma é uma indeterminação do tipo . - O enunciado dá a dica de evitar séries completas e usar o “limite fundamental com refinamento” (isto é, usar
de forma refinada).
Passo 2
Justificativa do método e primeiro uso: como temos uma indeterminação
e as funções são diferenciáveis perto de
(exceto no próprio ponto, que é permitido), podemos aplicar a regra de l’Hôpital. A regra diz que, se
,
e
são diferenciáveis em uma vizinhança de
(exceto talvez em
), então
quando este limite existe. Aqui
e
. Calculando as derivadas:
-
porque e . -
.
Aplicando l’Hôpital uma vez obtemos
Verifique: para
ainda temos
e
, ou seja, continuamos com indeterminação
.
Passo 3
Aplicando l’Hôpital pela segunda vez: derivamos numerador e denominador novamente.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Reescrevendo, fica
Passo 4
Agora usamos o limite fundamental
. Vou lembrar rapidamente por que esse limite vale (prova curta, essencial para entender o uso):
- Para
, por geometria no círculo unitário vale a desigualdade . - Dividindo por
e rearranjando, obtém-se . - Fazendo
, temos , portanto por compressão (teorema do sanduíche) . - Como
é função par ( ), o limite pela esquerda é o mesmo, logo .
Aplicando isso ao passo anterior:
Passo 5
Conclusão e checagem rápida: através de duas aplicações da regra de l’Hôpital e do uso do limite fundamental
, encontramos que o limite original existe e vale
. O sinal negativo vem do fato de, depois das derivações, aparecer
no numerador.