\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^{3}}\right]
Dica: evite séries completas — use limite fundamental com refinamento.

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão é a razão entre o numerador \sin x - x e o denominador x^3.
  • Quando x\to 0 temos \sin x \to 0 e x\to 0, logo o numerador tende a 0 e o denominador tende a 0: a forma é uma indeterminação do tipo 0/0.
  • O enunciado dá a dica de evitar séries completas e usar o “limite fundamental com refinamento” (isto é, usar \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1 de forma refinada).

Passo 2

Justificativa do método e primeiro uso: como temos uma indeterminação 0/0 e as funções são diferenciáveis perto de 0 (exceto no próprio ponto, que é permitido), podemos aplicar a regra de l’Hôpital. A regra diz que, se \lim_{x\to a} f(x)=0, \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis em uma vizinhança de a (exceto talvez em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando este limite existe. Aqui f(x)=\sin x - x e g(x)=x^3. Calculando as derivadas:
  • f'(x)=\cos x - 1 porque \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e \dfrac{d}{dx}x=1.
  • g'(x)=3x^{2}.
Aplicando l’Hôpital uma vez obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^{3}} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{3x^{2}}.
Verifique: para x\to0 ainda temos \cos x -1 \to 0 e 3x^2\to0, ou seja, continuamos com indeterminação 0/0.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital pela segunda vez: derivamos numerador e denominador novamente.
  • Derivada de \cos x - 1 é -\sin x.
  • Derivada de 3x^{2} é 6x.
Logo
\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{3x^{2}} = \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x}.
Reescrevendo, fica
\lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{6x} = -\frac{1}{6}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Agora usamos o limite fundamental \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1. Vou lembrar rapidamente por que esse limite vale (prova curta, essencial para entender o uso):
  • Para 0<x<\tfrac{\pi}{2}, por geometria no círculo unitário vale a desigualdade \sin x < x < \tan x.
  • Dividindo por \sin x e rearranjando, obtém-se \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1.
  • Fazendo x\to 0^{+}, temos \cos x\to 1, portanto por compressão (teorema do sanduíche) \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{\sin x}{x}=1.
  • Como \dfrac{\sin x}{x} é função par ( \dfrac{\sin(-x)}{-x}=\dfrac{\sin x}{x}), o limite pela esquerda é o mesmo, logo \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1.
Aplicando isso ao passo anterior:
-\frac{1}{6}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{6}\cdot 1 = -\frac{1}{6}.

Passo 5

Conclusão e checagem rápida: através de duas aplicações da regra de l’Hôpital e do uso do limite fundamental \lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1, encontramos que o limite original existe e vale -\tfrac{1}{6}. O sinal negativo vem do fato de, depois das derivações, aparecer -\sin x no numerador.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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