Dica: use propriedades de log antes de aproximar.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é a diferença de dois logaritmos dividida por
. - A dica diz para usar propriedades de log antes de aproximar.
Passo 2
Usar a propriedade dos logaritmos que transforma diferença em quociente:
Logo a expressão do limite fica
Passo 3
Simplificar a razão dentro do logaritmo:
Portanto podemos reescrever a expressão como
Passo 4
Faça a substituição auxiliar
Observações sobre essa substituição:
- Quando
tem-se porque e o denominador tende a . - Reescrevendo com
obtemos
Agora escrevemos essa fração como produto de dois fatores:
Passo 5
Avaliar os limites dos dois fatores separadamente.
- Para o primeiro fator existe o limite conhecido
Justificativa curta: a forma
permite aplicar L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador e obtendo
, que em
vale
. Alternativamente, pela expansão
também se vê que o quociente tende a
.
- Para o segundo fator
e portanto
Passo 6
Os limites das duas parcelas são
e
. Portanto o limite da expressão original é o produto desses limites.