\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+2 x)-\ln (1+x)}{x}\right]
Dica: use propriedades de log antes de aproximar.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln(1+2x)-\ln(1+x)}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a diferença de dois logaritmos dividida por x.
  • A dica diz para usar propriedades de log antes de aproximar.

Passo 2

Usar a propriedade dos logaritmos que transforma diferença em quociente:
\ln(1+2x)-\ln(1+x)=\ln\!\left(\dfrac{1+2x}{1+x}\right).
Logo a expressão do limite fica
\frac{\ln(1+2x)-\ln(1+x)}{x}=\frac{\ln\!\left(\dfrac{1+2x}{1+x}\right)}{x}.

Passo 3

Simplificar a razão dentro do logaritmo:
\frac{1+2x}{1+x}=\frac{(1+x)+x}{1+x}=1+\frac{x}{1+x}.
Portanto podemos reescrever a expressão como
\frac{\ln\!\left(1+\dfrac{x}{1+x}\right)}{x}.

Passo 4

Faça a substituição auxiliar
u=\frac{x}{1+x}.
Observações sobre essa substituição:
  • Quando x\to 0 tem-se u\to 0 porque u=\dfrac{x}{1+x} e o denominador tende a 1.
  • Reescrevendo com u obtemos
\frac{\ln(1+u)}{x}.
Agora escrevemos essa fração como produto de dois fatores:
\frac{\ln(1+u)}{x}=\frac{\ln(1+u)}{u}\cdot\frac{u}{x}.

Passo 5

Avaliar os limites dos dois fatores separadamente.
  1. Para o primeiro fator existe o limite conhecido
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Justificativa curta: a forma \dfrac{0}{0} permite aplicar L’Hôpital, diferenciando numerador e denominador e obtendo \dfrac{1/(1+u)}{1}, que em u=0 vale 1. Alternativamente, pela expansão \ln(1+u)=u+o(u) também se vê que o quociente tende a 1.
  1. Para o segundo fator
\frac{u}{x}=\frac{\tfrac{x}{1+x}}{x}=\frac{1}{1+x},
e portanto
\lim_{x\to 0}\frac{u}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+x}=1.

Passo 6

Os limites das duas parcelas são 1 e 1. Portanto o limite da expressão original é o produto desses limites.

Resposta

1

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