Dica: fator comum não evidente.
Passo 1
O problema pede calcular o seguinte limite:
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão é uma razão cujo numerador
tende a quando . - O denominador
tende a quando . - Portanto a forma é indeterminada do tipo
e precisamos manipular a expressão para achar o limite.
Passo 2
Fatorar um termo comum no numerador é uma boa ideia (dica do enunciado). Observe que
, então
tem
como fator comum. Faço a fatoração:
Substituindo na expressão do limite:
Passo 3
Usando a propriedade de limites (se os limites das partes existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites), reescrevo
Agora calculo cada limite separadamente.
Passo 4
Cálculo do primeiro limite:
pois a função exponencial é contínua e substituição direta vale.
Passo 5
Cálculo do segundo limite
.
Uma maneira clara e direta é usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em série) da exponencial ao redor de :
Uma maneira clara e direta é usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em série) da exponencial ao redor de
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Quando
, todos os termos com
,
, … tendem a
, portanto
(Observação alternativa: este limite também é exatamente a definição do derivado de
em
; como
, em
vale
.)
Passo 6
Multiplicando os limites encontrados:
Portanto o limite pedido é
.