\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-e^{x}}{x}\right]
Dica: fator comum não evidente.

Passo 1

O problema pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-e^{x}}{x}.
Informações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão é uma razão cujo numerador \,e^{2x}-e^{x}\, tende a 1-1=0 quando x\to 0.
  • O denominador x tende a 0 quando x\to 0.
  • Portanto a forma é indeterminada do tipo 0/0 e precisamos manipular a expressão para achar o limite.

Passo 2

Fatorar um termo comum no numerador é uma boa ideia (dica do enunciado). Observe que e^{2x}=(e^{x})\,(e^{x}), então e^{2x}-e^{x} tem e^{x} como fator comum. Faço a fatoração:
e^{2x}-e^{x}=e^{x}\bigl(e^{x}-1\bigr).
Substituindo na expressão do limite:
\frac{e^{2x}-e^{x}}{x}=\frac{e^{x}\bigl(e^{x}-1\bigr)}{x}=e^{x}\cdot\frac{e^{x}-1}{x}.

Passo 3

Usando a propriedade de limites (se os limites das partes existem e são finitos, o limite do produto é o produto dos limites), reescrevo
\lim_{x\to 0}e^{x}\cdot\frac{e^{x}-1}{x} = \left(\lim_{x\to 0}e^{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\right).
Agora calculo cada limite separadamente.

Passo 4

Cálculo do primeiro limite:
\lim_{x\to 0}e^{x}=e^{0}=1,
pois a função exponencial é contínua e substituição direta vale.

Passo 5

Cálculo do segundo limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}.
Uma maneira clara e direta é usar a expansão em série de Taylor (desenvolvimento em série) da exponencial ao redor de 0:
e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por x obtemos
\frac{e^{x}-1}{x}=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^{2}}{3!}+\cdots.
Quando x\to 0, todos os termos com x, x^{2}, … tendem a 0, portanto
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1.
(Observação alternativa: este limite também é exatamente a definição do derivado de e^{x} em 0; como \bigl(e^{x}\bigr)'=e^{x}, em 0 vale 1.)

Passo 6

Multiplicando os limites encontrados:
\left(\lim_{x\to 0}e^{x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{e^{x}-1}{x}\right)=1\cdot 1=1.
Portanto o limite pedido é 1.

Resposta

1

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