\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+2 x}-\sqrt{1+x}}{x}\right]
Dica: não racionalize diretamente - manipule a diferença antes.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x}.
Informações dadas: a expressão é a diferença de duas raízes quadradas no numerador, dividida por x. Não é pedido um método específico — há uma dica para não racionalizar diretamente o numerador inteiro, mas sim manipular a diferença antes.

Passo 2

Primeiro passo algébrico simples: separar a diferença em duas frações para ficar mais fácil de analisar. Reescreve-se a expressão como diferença de duas frações:
\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x} = \frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}-\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
Isto é só somar e subtrair 1 no numerador para dividir em dois termos — uma técnica útil porque há limites padrão para termos do tipo \dfrac{\sqrt{1+u}-1}{u}.

Passo 3

Agora vamos analisar o limite padrão
\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}.
Para calcular esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{1+u}+1 (aqui estamos racionalizando uma expressão mais simples, permitido e rápido):
\frac{\sqrt{1+u}-1}{u} = \frac{(\sqrt{1+u}-1)(\sqrt{1+u}+1)}{u(\sqrt{1+u}+1)} = \frac{1+u-1}{u(\sqrt{1+u}+1)} = \frac{1}{\sqrt{1+u}+1}.
Como \sqrt{1+u}\to 1 quando u\to 0, segue que
\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}.
Essa é uma identidade muito útil: para pequenas variações u, \sqrt{1+u}-1 é aproximadamente \tfrac{u}{2}.

Passo 4

Voltemos aos dois termos que obtivemos em \dfrac{\sqrt{1+2x}-1}{x}-\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
  • Para o primeiro termo, use u=2x. Então
\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x} = 2\cdot\frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x}.
Como \lim_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{1+t}-1}{t}=\dfrac{1}{2}, substituindo t=2x obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{2x}=\frac{1}{2},
portanto
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-1}{x}=2\cdot\frac{1}{2}=1.
  • Para o segundo termo, use u=x. Aplicando diretamente o limite padrão:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}.

Passo 5

Subtraindo os limites dos dois termos (válido porque ambos existem finitos), obtemos:
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt{1+x}}{x} = 1-\frac{1}{2} = \frac{1}{2}.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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