Dica: não racionalize diretamente - manipule a diferença antes.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a expressão é a diferença de duas raízes quadradas no numerador, dividida por
. Não é pedido um método específico — há uma dica para não racionalizar diretamente o numerador inteiro, mas sim manipular a diferença antes.
Passo 2
Primeiro passo algébrico simples: separar a diferença em duas frações para ficar mais fácil de analisar. Reescreve-se a expressão como diferença de duas frações:
Isto é só somar e subtrair
no numerador para dividir em dois termos — uma técnica útil porque há limites padrão para termos do tipo
.
Passo 3
Agora vamos analisar o limite padrão
Para calcular esse limite, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado
(aqui estamos racionalizando uma expressão mais simples, permitido e rápido):
Como
quando
, segue que
Essa é uma identidade muito útil: para pequenas variações
,
é aproximadamente
.
Passo 4
Voltemos aos dois termos que obtivemos em
.
- Para o primeiro termo, use
. Então
Como
, substituindo
obtemos
portanto
- Para o segundo termo, use
. Aplicando diretamente o limite padrão:
Passo 5
Subtraindo os limites dos dois termos (válido porque ambos existem finitos), obtemos: