\left[\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{x-1}\right]
Dica: reescreva como operador diferença sobre potência.

Passo 1

O que o problema pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} \frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{x-1}.
  • Informação implícita: n é um inteiro positivo (caso n seja par, a raiz x^{1/n} está bem definida para x próximos de 1 porque esses x são positivos). Não serão necessárias outras hipóteses.

Passo 2

Mudança de variável simples para enxergar uma diferença de potências:
  • Defina
y = x^{\frac{1}{n}}.
  • Então x = y^{n}. Reescrevendo a expressão em função de y obtemos
\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{x-1}=\frac{y-1}{y^{n}-1}.

Passo 3

Lema algébrico (fórmula de fatoração da diferença de potências) — explicação didática:
  • Para inteiros n\ge 1 e quaisquer a,b vale a identidade
a^{n}-b^{n}=(a-b)\sum_{k=0}^{n-1} a^{\,n-1-k}b^{\,k}.
  • Intuição: ao multiplicar (a-b) pela soma dos termos, cada potência fica aparecendo com coeficientes que se cancelam, restando exatamente a^n-b^n. É uma fatoração que generaliza a fatoração a^2-b^2=(a-b)(a+b).

Passo 4

Aplique a fatoração com a=y e b=1:
  • Usando a identidade do passo anterior com b=1 temos
y^{n}-1=(y-1)\sum_{k=0}^{n-1} y^{\,k}.
  • Dividindo ambos os lados por y^{n}-1 (para y\neq1) e isolando \dfrac{y-1}{y^{n}-1} resulta
\frac{y-1}{y^{n}-1}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} y^{\,k}}.
  • Voltando à variável x (lembre que y=x^{1/n}), a expressão original pode ser escrita como
\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{x-1}=\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^{\frac{k}{n}}}.

Passo 5

Tome o limite à medida que x\to1:
  • Cada termo da soma do denominador é contínuo em x=1 (potências x^{k/n} são contínuas para x próximos de 1), então ao passar para o limite:
\lim_{x\to 1}\sum_{k=0}^{n-1} x^{\frac{k}{n}}=\sum_{k=0}^{n-1}\lim_{x\to 1} x^{\frac{k}{n}}=\sum_{k=0}^{n-1} 1 = n.
  • Portanto, pela representação do passo anterior,
\lim_{x\to 1}\frac{x^{\frac{1}{n}}-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{1}{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} x^{\frac{k}{n}}}=\frac{1}{n}.

Passo 6

Comentário pedagógico e alternativa curta (motivação):
  • A manipulação feita é puramente algébrica e elementar: transformou-se a diferença de raízes em uma soma de potências que é fácil de avaliar no limite.
  • Alternativa rápida (mais “cálculo”): reconhecer que a expressão é o quociente das diferenças de f(x)=x^{1/n} em torno de x=1, i.e. o diferencial incremental. Então o limite é f'(1) e, como f'(x)=\dfrac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}, tem-se f'(1)=\dfrac{1}{n}. A abordagem algébrica usada aqui evita derivadas explícitas e é totalmente elementar.

Resposta

\dfrac{1}{n}

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