Dica: reescreva como operador diferença sobre potência.
Passo 1
O que o problema pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
- Informação implícita:
é um inteiro positivo (caso seja par, a raiz está bem definida para próximos de porque esses são positivos). Não serão necessárias outras hipóteses.
Passo 2
Mudança de variável simples para enxergar uma diferença de potências:
- Defina
- Então
. Reescrevendo a expressão em função de obtemos
Passo 3
Lema algébrico (fórmula de fatoração da diferença de potências) — explicação didática:
- Para inteiros
e quaisquer vale a identidade
- Intuição: ao multiplicar
pela soma dos termos, cada potência fica aparecendo com coeficientes que se cancelam, restando exatamente . É uma fatoração que generaliza a fatoração .
Passo 4
Aplique a fatoração com
e
:
- Usando a identidade do passo anterior com
temos
- Dividindo ambos os lados por
(para ) e isolando resulta
- Voltando à variável
(lembre que ), a expressão original pode ser escrita como
Passo 5
Tome o limite à medida que
:
- Cada termo da soma do denominador é contínuo em
(potências são contínuas para próximos de ), então ao passar para o limite:
- Portanto, pela representação do passo anterior,
Passo 6
Comentário pedagógico e alternativa curta (motivação):
- A manipulação feita é puramente algébrica e elementar: transformou-se a diferença de raízes em uma soma de potências que é fácil de avaliar no limite.
- Alternativa rápida (mais “cálculo”): reconhecer que a expressão é o quociente das diferenças de
em torno de , i.e. o diferencial incremental. Então o limite é e, como , tem-se . A abordagem algébrica usada aqui evita derivadas explícitas e é totalmente elementar.