Questão 3 - Valor 2,0 pontos
Calcule a integral
\int_{C} x y d x+2 x d y, onde C é o arco da curva y=e^{2} de (0,1) a (1, e).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C} x y\,dx + 2x\,dy
onde C é o arco da curva indicada, indo do ponto (0,1) até (1,e). Os dados que temos (do enunciado) são:
  • A integral de linha é \displaystyle \int_{C} x y\,dx + 2x\,dy.
  • Os pontos extremos são (0,1) e (1,e).
Observação importante: o enunciado diz “ y=e^{2}” que não faz sentido com os pontos dados (pois y=e^{2} é constante). Como não posso perguntar nada, vou assumir que a curva é y=e^{x}, porque com essa escolha os pontos coincidem com os extremos dados: y(0)=e^{0}=1 e y(1)=e^{1}=e. Se a curva fosse outra, a integral muda; aqui sigo com y=e^{x}.

Passo 2

Primeiro raciocínio útil: verificar se o campo vetorial é conservativo (isso às vezes simplifica muito). Colocando P(x,y)=x y e Q(x,y)=2x, calculo as derivadas parciais
\frac{\partial P}{\partial y} = x, \qquad \frac{\partial Q}{\partial x} = 2.
Como \dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x} (em geral), o campo não é conservativo, então não existe potencial escalar simples para usar e a integral depende do caminho. Logo vamos parametrizar a curva C e calcular diretamente.

Passo 3

Parametrização da curva C: como estou assumindo y=e^{x}, a parametrização natural é parametrizar por x. Tomemos
x=t,\qquad y=e^{t},\qquad t\in[0,1].
Uma forma mais direta (sem escrever todo o vetor paramétrico) é usar a relação diferencial entre y e x. Como y=e^{x}, temos a derivada
\frac{dy}{dx}=e^{x}=y,
logo
dy = y\,dx.
Isso permite expressar a integral em termos de x apenas, sem ter de montar explicitamente \mathbf{r}(t).

Passo 4

Substituo dy = y\,dx na integral \displaystyle \int_{C} x y\,dx + 2x\,dy:
x y\,dx + 2x\,dy = x y\,dx + 2x\,(y\,dx) = (x y + 2x y)\,dx = 3x y\,dx.
Agora uso y=e^{x} para escrever tudo em função de x:
3x y\,dx = 3x e^{x}\,dx.
Os limites em x vão de x=0 até x=1. Portanto a integral de linha reduz-se à integral definida em x:
\int_{C} x y\,dx + 2x\,dy = \int_{0}^{1} 3x e^{x}\,dx.

Passo 5

Agora cálculo a integral \displaystyle \int_{0}^{1} 3x e^{x}\,dx. Primeiro faço a primitiva de x e^{x} por integração por partes. Relembre a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde escolhemos u e dv. Aqui tomo u=x e dv=e^{x}\,dx. Então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C = (x-1)e^{x} + C.
Multiplicando por 3, a primitiva de 3x e^{x} é
F(x) = 3(x-1)e^{x} + C.

Passo 6

Avalio a primitiva entre 0 e 1:
\int_{0}^{1} 3x e^{x}\,dx = \bigl[\,3(x-1)e^{x}\,\bigr]_{0}^{1}.
Calculo os valores:
F(1)=3(1-1)e^{1}=3\cdot 0 \cdot e = 0, \qquad F(0)=3(0-1)e^{0}=3(-1)\cdot 1 = -3.
Portanto a integral vale
0 - (-3)=3.

Resposta

\,3

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