Questão 3 - Valor 2,0 pontos
Calcule a integral
, onde
é o arco da curva
de
a
.
Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral de linha
onde
é o arco da curva indicada, indo do ponto
até
. Os dados que temos (do enunciado) são:
- A integral de linha é
. - Os pontos extremos são
e .
Observação importante: o enunciado diz “
” que não faz sentido com os pontos dados (pois
é constante). Como não posso perguntar nada, vou assumir que a curva é
, porque com essa escolha os pontos coincidem com os extremos dados:
e
. Se a curva fosse outra, a integral muda; aqui sigo com
.
Passo 2
Primeiro raciocínio útil: verificar se o campo vetorial é conservativo (isso às vezes simplifica muito). Colocando
e
, calculo as derivadas parciais
Como
(em geral), o campo não é conservativo, então não existe potencial escalar simples para usar e a integral depende do caminho. Logo vamos parametrizar a curva
e calcular diretamente.
Passo 3
Parametrização da curva
: como estou assumindo
, a parametrização natural é parametrizar por
. Tomemos
Uma forma mais direta (sem escrever todo o vetor paramétrico) é usar a relação diferencial entre
e
. Como
, temos a derivada
logo
Isso permite expressar a integral em termos de
apenas, sem ter de montar explicitamente
.
Passo 4
Substituo
na integral
:
Agora uso
para escrever tudo em função de
:
Os limites em
vão de
até
. Portanto a integral de linha reduz-se à integral definida em
:
Passo 5
Agora cálculo a integral
. Primeiro faço a primitiva de
por integração por partes. Relembre a fórmula de integração por partes:
onde escolhemos
e
. Aqui tomo
e
. Então
Aplicando:
Multiplicando por
, a primitiva de
é
Passo 6
Avalio a primitiva entre
e
:
Calculo os valores:
Portanto a integral vale