Dica: use identidade de soma de senos antes de dividir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão a ser avaliada é
. - O limite é quando
tende a .
Passo 2
Vamos usar a identidade de soma (ou diferença) de senos. A fórmula geral é
Explicando essa identidade de forma simples: ela transforma a diferença de duas funções seno em um produto envolvendo cosseno e seno com argumentos médios e metade da diferença. Essa forma é útil porque frequentemente o fator
dividido por esse mesmo
produz limites conhecidos (como
quando
).
Passo 3
Aplique a identidade com
e
. Assim
Calculando os meios:
Portanto
Passo 4
Substituindo no quociente do limite obtemos
Agora reduzimos o problema a avaliar o produto de dois limites:
Passo 5
Usamos dois fatos padrão sobre limites (e explico por que eles valem):
-
. Isto é porque o cosseno é contínuo em : valores próximos de dão cosseno próximo de . -
. Explicação didática curta dessa última: - Para
vale a desigualdade geométrica . - Dividindo a primeira desigualdade por
e a segunda por (todas positivas nesse intervalo) obtemos - Ao fazer
temos , então pela desigualdade apertada (squeeze theorem) segue que . O caso segue pela paridade de e simetria, então o limite existe e vale .
Com isso,
- Para
Passo 6
Comentário final prático (dica de prova): em uma prova rápida, aplicar a identidade sum-to-product para transformar a diferença de senos em
e então usar imediatamente que
e
resolve o limite em poucos passos. Vai dar tudo certo — respira, faz com calma e repete esse padrão em exercícios parecidos.