\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (3 x)-\sin (x)}{x}\right]
Dica: use identidade de soma de senos antes de dividir.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x}.
Informações dadas:
  • A expressão a ser avaliada é \dfrac{\sin(3x)-\sin(x)}{x}.
  • O limite é quando x tende a 0.

Passo 2

Vamos usar a identidade de soma (ou diferença) de senos. A fórmula geral é
\sin(a)-\sin(b)=2\cos\!\biggl(\dfrac{a+b}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\dfrac{a-b}{2}\biggr).
Explicando essa identidade de forma simples: ela transforma a diferença de duas funções seno em um produto envolvendo cosseno e seno com argumentos médios e metade da diferença. Essa forma é útil porque frequentemente o fator \sin(\text{algo}) dividido por esse mesmo \text{algo} produz limites conhecidos (como \sin x / x quando x\to0).

Passo 3

Aplique a identidade com a=3x e b=x. Assim
\sin(3x)-\sin(x)=2\cos\!\biggl(\dfrac{3x+x}{2}\biggr)\sin\!\biggl(\dfrac{3x-x}{2}\biggr).
Calculando os meios:
\dfrac{3x+x}{2}=2x,\qquad \dfrac{3x-x}{2}=x.
Portanto
\sin(3x)-\sin(x)=2\cos(2x)\sin x.

Passo 4

Substituindo no quociente do limite obtemos
\frac{\sin(3x)-\sin(x)}{x}=\frac{2\cos(2x)\sin x}{x}=2\cos(2x)\cdot\frac{\sin x}{x}.
Agora reduzimos o problema a avaliar o produto de dois limites:
\lim_{x\to0}2\cos(2x)\cdot\frac{\sin x}{x}.

Passo 5

Usamos dois fatos padrão sobre limites (e explico por que eles valem):
  1. \displaystyle \lim_{x\to0}\cos(2x)=\cos(0)=1. Isto é porque o cosseno é contínuo em 0: valores próximos de x=0 dão cosseno próximo de 1.
  2. \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1. Explicação didática curta dessa última:
    • Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica \sin x < x < \tan x.
    • Dividindo a primeira desigualdade por x e a segunda por \sin x (todas positivas nesse intervalo) obtemos \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
    • Ao fazer x\to0^+ temos \cos x\to1, então pela desigualdade apertada (squeeze theorem) segue que \dfrac{\sin x}{x}\to1. O caso x\to0^- segue pela paridade de \sin e simetria, então o limite existe e vale 1.
      Com isso,
\lim_{x\to0}2\cos(2x)\cdot\frac{\sin x}{x}=2\cdot\left(\lim_{x\to0}\cos(2x)\right)\cdot\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)=2\cdot 1\cdot 1=2.

Passo 6

Comentário final prático (dica de prova): em uma prova rápida, aplicar a identidade sum-to-product para transformar a diferença de senos em 2\cos(2x)\sin x e então usar imediatamente que \sin x/x\to1 e \cos(2x)\to1 resolve o limite em poucos passos. Vai dar tudo certo — respira, faz com calma e repete esse padrão em exercícios parecidos.

Resposta

2

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