\left[\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x}\right]
Dica: duas camadas de limite - trate interno e externo separadamente.

Passo 1

O que o problema pede e o que se tem:
  • Pede o valor de \left[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x}\right]. Aqui os colchetes indicam a parte inteira (piso) do limite — ou seja, primeiro calcular o limite e depois tomar sua parte inteira.
  • Informação dada: a expressão dentro do limite é \dfrac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x} e a variável tende para 0.
  • Dica recebida: “duas camadas de limite” — isto sugere separar a expressão em dois fatores cujos limites são mais simples.

Passo 2

Reescrever a expressão para separar em duas camadas:
\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x} = \frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\sin x}\cdot\frac{\sin x}{x}.
Explicação didática: fatoramos em dois fatores porque \sin x tende a 0 quando x\to 0, então faz sentido estudar primeiro o limite
\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}
com u=\sin x (essa é a “camada interna”), e depois o limite clássico \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} (a “camada externa”). Se os dois limites existirem finitos, o limite do produto é o produto dos limites.

Passo 3

Calcular a primeira camada: \displaystyle \lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}.
Método elementar (racionalização): multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{1+u}+1:
\frac{\sqrt{1+u}-1}{u} =\frac{(\sqrt{1+u}-1)(\sqrt{1+u}+1)}{u(\sqrt{1+u}+1)} =\frac{(1+u)-1}{u(\sqrt{1+u}+1)} =\frac{u}{u(\sqrt{1+u}+1)} =\frac{1}{\sqrt{1+u}+1}.
Agora tome o limite quando u\to 0:
\lim_{u\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+u}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\sqrt{1+u}-1}{u}=\frac{1}{2}.
Como u=\sin x e \sin x\to 0 quando x\to 0, segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\sin x}=\frac{1}{2}.

Passo 4

Calcular a segunda camada: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}.
Esta é uma identidade clássica. Uma forma simples de ver é usar a desigualdade \cos x \le \dfrac{\sin x}{x}\le 1 válida para x próximo de 0 (obtida a partir de desigualdades geométricas com seno e tangente). Como \lim_{x\to 0}\cos x=1, pelo teorema do confronto segue
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 5

Combinar os dois limites (produto):
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{x} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\sin x}-1}{\sin x}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\right) =\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.

Passo 6

Tomar a parte inteira (piso) do valor obtido: a parte inteira de \dfrac{1}{2} é 0.

Resposta

0

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