Dica: duas camadas de limite - trate interno e externo separadamente.
Passo 1
O que o problema pede e o que se tem:
- Pede o valor de
. Aqui os colchetes indicam a parte inteira (piso) do limite — ou seja, primeiro calcular o limite e depois tomar sua parte inteira. - Informação dada: a expressão dentro do limite é
e a variável tende para . - Dica recebida: “duas camadas de limite” — isto sugere separar a expressão em dois fatores cujos limites são mais simples.
Passo 2
Reescrever a expressão para separar em duas camadas:
Explicação didática: fatoramos em dois fatores porque
tende a
quando
, então faz sentido estudar primeiro o limite
com
(essa é a “camada interna”), e depois o limite clássico
(a “camada externa”). Se os dois limites existirem finitos, o limite do produto é o produto dos limites.
Passo 3
Calcular a primeira camada:
.
Método elementar (racionalização): multiplica-se numerador e denominador por :
Método elementar (racionalização): multiplica-se numerador e denominador por
Agora tome o limite quando
:
Portanto
Como
e
quando
, segue que
Passo 4
Calcular a segunda camada:
.
Esta é uma identidade clássica. Uma forma simples de ver é usar a desigualdade válida para
próximo de
(obtida a partir de desigualdades geométricas com seno e tangente). Como
, pelo teorema do confronto segue
Esta é uma identidade clássica. Uma forma simples de ver é usar a desigualdade
Passo 5
Combinar os dois limites (produto):
Passo 6
Tomar a parte inteira (piso) do valor obtido: a parte inteira de
é
.
Resposta
0