se \left|\begin{array}{lll}a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| vale -3 , calcule :
\left|\begin{array}{ccc}-a & -b & -c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 1 & 1 & 1\end{array}\right| \quad

Passo 1

O enunciado nos dá o determinante da matriz
\begin{vmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =-3.
Pede-se para calcular o determinante da matriz em que as duas primeiras linhas foram multiplicadas por -1, isto é
\begin{vmatrix} -a & -b & -c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}.

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade básica e muito útil de determinantes (explicada devagarinho, sem pular etapas).
Propriedade: se se multiplica uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar k, o determinante da nova matriz é o determinante da matriz original multiplicado por k.
Explicação simples: para ver isso em uma matriz 2\times2 como exemplo, tome
\det\begin{pmatrix}a & b \\\ c & d\end{pmatrix}=ad-bc.
Se multiplicarmos a primeira linha por k obtemos
\det\begin{pmatrix}ka & kb \\\ c & d\end{pmatrix}=(ka)d-(kb)c=k(ad-bc),
ou seja, o determinante ficou multiplicado por k. A mesma ideia vale para matrizes maiores (essa é uma propriedade linear das linhas do determinante).

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao nosso caso: a nova matriz foi obtida multiplicando a primeira linha por -1 e também multiplicando a segunda linha por -1.
Cada multiplicação de linha por -1 multiplica o determinante por -1. Como foram duas linhas multiplicadas por -1, o fator total que multiplica o determinante é
(-1)\cdot(-1)=1.
Portanto o determinante da nova matriz é igual ao determinante da matriz original. Em símbolos:
\begin{vmatrix} -a & -b & -c \\\\ -d & -e & -f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =(-1)\cdot(-1)\, \begin{vmatrix} a & b & c \\\ d & e & f \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} =1\cdot(-3)=-3.

Passo 4

Resumo prático para a prova: sempre que trocar o sinal de duas linhas (ou seja, multiplicar duas linhas por -1), o determinante não muda, porque os dois sinais se anulam. Assim não é preciso recalcular nada complicado — basta usar a propriedade de multiplicação de linha por escalar.

Resposta

-3

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