1. Determine x para que a matriz A=\left[\begin{array}{cc}x & x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right] seja inversivel.

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada A=\left[\begin{array}{cc}x & x+2 \\\\ 1 & x\end{array}\right] e pede: determinar os valores de x para os quais A é inversível.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz depende de um parâmetro real x.
  • Queremos os valores de x que tornam a matriz inversível.

Passo 2

Vamos lembrar o critério mais direto para decidir se uma matriz quadrada 2\times2 é inversível. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Ou seja, para A ser inversível precisamos de \det(A)\neq 0.

Passo 3

Aplique a fórmula do determinante à matriz dada. Aqui a=x, b=x+2, c=1 e d=x. Então
\det(A)=a d - b c = x\cdot x - (x+2)\cdot 1.

Passo 4

Calcule passo a passo a expressão do determinante:
\det(A)=x^2-(x+2).
Agora simplificando:
\det(A)=x^2-x-2.

Passo 5

Fatore o polinômio quadrático para encontrar suas raízes. Procuramos dois números cuja soma seja -1 (coeficiente de x) e cujo produto seja -2 (termo constante). Esses números são -2 e +1. Portanto
\det(A)=x^2-x-2=(x-2)(x+1).

Passo 6

A condição de inversibilidade é \det(A)\neq 0. Usando a fatoração temos
(x-2)(x+1)\neq 0,
o que ocorre exatamente quando x\neq 2 e x\neq -1. Se x=2 ou x=-1 então \det(A)=0 e a matriz é singular (não tem inversa).

Resposta

x\neq 2
x\neq -1

Exercícios relacionados