1. Calcule o seguinte determinante, utilizando propriedades:
    \left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & a \\\\ 0 & 0 & a & b \\\\ 0 & a & b & c \\\ a & b & c & d\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & a\\[4pt] 0 & 0 & a & b\\[4pt] 0 & a & b & c\\[4pt] a & b & c & d \end{pmatrix}.
Informações dadas:
  • Os elementos da matriz estão explícitos como acima, em função das letras \,a,b,c,d.
  • A tarefa é calcular \det(A).]

Passo 2

Vamos usar expansão por cofatores (também chamada de desenvolvimento por Laplace). Lembrete rápido sobre essa técnica:
  • Para qualquer matriz, o determinante pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna.
  • A fórmula de expansão ao longo da coluna j é
\det(A)=\sum_{i=1}^{n} a_{ij}(-1)^{i+j}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i, coluna j, e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo-se a linha i e a coluna j (esse M_{ij} chama-se menor complementar).
  • A vantagem prática: se uma coluna ou linha tem muitos zeros, a expansão fica muito simples porque só sobram poucos termos.
Na nossa matriz, a primeira coluna tem três zeros e apenas o último elemento é a. Então é natural expandir ao longo da primeira coluna.

Passo 3

Aplicando a expansão ao longo da primeira coluna, só o termo i=4 contribui:
\det(A)=a\cdot(-1)^{4+1}\det\big(M_{4,1}\big).
Calcule o sinal:
(-1)^{4+1}=(-1)^5=-1,
portanto
\det(A)=-a\det\big(M_{4,1}\big).
O menor M_{4,1} (matriz 3\times3 obtida ao remover a linha 4 e a coluna 1) é
M_{4,1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\[4pt] 0 & a & b\\[4pt] a & b & c \end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora calculamos \det\big(M_{4,1}\big). Observando M_{4,1}, a primeira linha tem dois zeros, então expandimos por essa primeira linha. Só o elemento da coluna 3 (que é a) contribui. Pela fórmula de cofatores:
\det\big(M_{4,1}\big)=a\cdot(-1)^{1+3}\det\big(N\big),
onde N é o menor 2\times2 obtido ao remover linha 1 e coluna 3 de M_{4,1}. Calcule o sinal:
(-1)^{1+3}=(-1)^4=1,
logo
\det\big(M_{4,1}\big)=a\det\big(N\big).
O menor N é
N=\begin{pmatrix} 0 & a\\[4pt] a & b \end{pmatrix}.]

Passo 5

Determinante de uma matriz 2\times2 é dado por \det\begin{pmatrix}p & q\\\ r & s\end{pmatrix}=ps-qr. Aplicando em N:
\det(N)=0\cdot b - a\cdot a = -a^2.
Portanto
\det\big(M_{4,1}\big)=a\cdot(-a^2)=-a^3.

Passo 6

Voltemos à expressão para \det(A) obtida no Passo 3:
\det(A)=-a\det\big(M_{4,1}\big)=-a\cdot(-a^3)=a^4.
Concluímos que o determinante depende apenas de a e é igual a a^4.

Resposta

a^4

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