Calcule o seguinte determinante, utilizando propriedades: \left|\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & a \\\\ 0 & 0 & a & b \\\\ 0 & a & b & c \\\ a & b & c & d\end{array}\right|
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & a\\[4pt] 0 & 0 & a & b\\[4pt] 0 & a & b & c\\[4pt] a & b & c & d \end{pmatrix}.
Informações dadas:
Os elementos da matriz estão explícitos como acima, em função das letras \,a,b,c,d.
A tarefa é calcular \det(A).]
Passo 2
Vamos usar expansão por cofatores (também chamada de desenvolvimento por Laplace). Lembrete rápido sobre essa técnica:
Para qualquer matriz, o determinante pode ser calculado expandindo ao longo de uma linha ou coluna.
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i, coluna j, e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo-se a linha i e a coluna j (esse M_{ij} chama-se menor complementar).
A vantagem prática: se uma coluna ou linha tem muitos zeros, a expansão fica muito simples porque só sobram poucos termos.
Na nossa matriz, a primeira coluna tem três zeros e apenas o último elemento é a. Então é natural expandir ao longo da primeira coluna.
Passo 3
Aplicando a expansão ao longo da primeira coluna, só o termo i=4 contribui:
\det(A)=a\cdot(-1)^{4+1}\det\big(M_{4,1}\big).
Calcule o sinal:
(-1)^{4+1}=(-1)^5=-1,
portanto
\det(A)=-a\det\big(M_{4,1}\big).
O menor M_{4,1} (matriz 3\times3 obtida ao remover a linha 4 e a coluna 1) é
M_{4,1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\[4pt] 0 & a & b\\[4pt] a & b & c \end{pmatrix}.]
Passo 4
Agora calculamos \det\big(M_{4,1}\big). Observando M_{4,1}, a primeira linha tem dois zeros, então expandimos por essa primeira linha. Só o elemento da coluna 3 (que é a) contribui. Pela fórmula de cofatores: