As curvas y=x^{2} e y=x+6 interceptam-se nos pontos de abscissa
A x=-3 e x=-2.
B x=2 \mathrm{e} x=3.
C x=-3 e x=2.
D x=-2 e x=3.
E N.R.A.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas e pede as abscissas (isto é, os valores de x) dos pontos onde elas se interceptam. As curvas são:
  • y = x^{2}
  • y = x + 6
As alternativas fornecidas são:
A x=-3 e x=-2.
B x=2 e x=3.
C x=-3 e x=2.
D x=-2 e x=3.
E N.R.A.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção precisamos encontrar os valores de x para os quais as duas funções têm o mesmo y. Em palavras: a interseção ocorre quando o valor de y da parábola é igual ao valor de y da reta. Portanto igualamos as expressões de y:
x^{2} = x + 6.

Passo 3

Colocamos todos os termos de um lado para obter uma equação quadrática padrão:
x^{2} - x - 6 = 0.
Explicação rápida: uma equação quadrática tem a forma geral ax^{2}+bx+c=0. Aqui a=1, b=-1 e c=-6.

Passo 4

Tentamos resolver por fatoração — uma técnica rápida quando os coeficientes são inteiros. Procuramos dois números que multiplicam para c=-6 e somam para b=-1. Esses números são -3 e 2, pois (-3)\cdot 2 = -6 e (-3)+2=-1. Então fatoramos:
x^{2}-x-6 = (x-3)(x+2).
A equação torna-se
(x-3)(x+2)=0,
portanto as soluções são x=3 ou x=-2.

Passo 5

Verificação (boa prática em prova): substituir cada raiz em uma das equações para confirmar.
  • Para x=3: x^{2}=3^{2}=9 e x+6=3+6=9. Ambos dão y=9, logo o ponto (3,9) é interseção.
  • Para x=-2: x^{2}=(-2)^{2}=4 e x+6=-2+6=4. Ambos dão y=4, logo o ponto (-2,4) é interseção.

Passo 6

Resumo didático rápido sobre opções de solução de quadráticas:
  • Fatoração: procurar dois números com produto c e soma b (rápido quando funciona).
  • Fórmula de Bhaskara (quadrática): \displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} — útil quando não fatora facilmente. Aqui, aplicando, dá \displaystyle x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2}=\frac{1\pm5}{2}\Rightarrow x=3,\,-2, confirmando o resultado.
    Dica para a prova: tente fatorar primeiro; se não der, use Bhaskara.

Resposta

D

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