1 A Lei de Ação de Massas mostra que n p=ni^2 e podemos escrever:
n=Nc e^-beta(Ec-mu) , p=Nv e^-beta(mu-Ev)
Determine uma expressão para o potencial químico mu. Quais são as expressões para Nc e Nv em função da massa efetiva do portador e da temperatura no regime não-degenerado? Mostre que as concentrações efetivas de elétrons e buracos Nc e Nv podem ser determinadas pelas expressões:
& Nc=2,54(mc^*me T300)^3 / 2 times 10^19 cm^-3 & Nv=2,54(mh^*me T300)^3 / 2 times 10^19 cm^-3
onde T é a temperatura em K. Aplique essa expressão para o Si , Ge e GaAs em T=300 K e determine ni.

Passo 1

O enunciado pede para, usando a Lei de Ação de Massas (
n,p=ni^2
), obter uma fórmula para o potencial químico mu em condição intrínseca ( n=p=ni), apresentar as expressões gerais de Nc e Nv no regime não-degenerado, mostrar que elas podem ser escritas como
Nc=2,54gl(mc^*meT300gr)^3/2times10^19,cm^-3,
Nv=2,54gl(mh^*meT300gr)^3/2times10^19,cm^-3,
e por fim aplicar isso a Si, Ge e GaAs a T=300,K para achar ni. O conteúdo envolve estatística de Maxwell–Boltzmann, densidade de estados efetiva e Lei de Ação de Massas.

Passo 2

A condição intrínseca é n=p. Partindo de
n=Nc e^-beta(Ec-mu), p=Nv e^-beta(mu-Ev), beta=1/(kT),
omegamos n=p e igualamos as duas:
Nc e^-beta(Ec-mu)=Nv e^-beta(mu-Ev)
Tomando logaritmo e isolando mu:
-beta(Ec-mu)+ln Nc=-beta(mu-Ev)+ln Nv
2betamu=beta(Ec+Ev)+lnNvNc
mu=Ec+Ev2+12betalnNvNc
Como Ncpropto(mc^*)^3/2 e Nvpropto(mh^*)^3/2, temos
mui=Ec+Ev2+34kTlnmh^*mc^*

Passo 3

No regime não-degenerado (MB), as densidades efetivas são
Nc=2gl(mc^* kT2pihbar^2gr)^3/2, Nv=2gl(mh^* kT2pihbar^2gr)^3/2

Passo 4

Para obter as fórmulas numéricas, reunimos constantes físicas ( k, hbar, me, T0=300,K) e convertemos para cm^-3. O fator resulta em
Nc=2,54l(mc^*meT300r)^3/2times10^19,
Nv=2,54l(mh^*meT300r)^3/2times10^19

Passo 5

Agora em T=300,K tomamos valores típicos de massas efetivas:
Si: mc^*=1,08me, mh^*=0,56me, Eg=1,12,eV;
Ge: 0,56me, 0,29me, 0,66,eV;
GaAs: 0,067me, 0,50me, 1,424,eV.
Calculamos primeiro
Nc,,NvRightarrow ni=raizNcNv,e^-Eg/(2kT)
Fazendo as contas obtemos:

Passo 6

Para Si:
Ncapprox2,85times10^19, Nvapprox1,07times10^19,cm^-3
Ncapprox1,07times10^19, Nvapprox3,96times10^18
Para Ge:
Ncapprox4,4times10^17, Nvapprox7,7times10^18
Para GaAs:

Resposta

Expressão do potencial químico intrínseco:
mui=Ec+Ev2+34kTlnmh^*mc^*
Densidades efetivas gerais no regime MB:
Nc=2l(mc^*kT2pihbar^2r)^3/2, Nv=2l(mh^*kT2pihbar^2r)^3/2
Fórmulas numéricas padronizadas:
Nc=2,54l(mc^*meT300r)^3/2times10^19,cm^-3, Nv=2,54l(mh^*meT300r)^3/2times10^19,cm^-3
Valores de ni a 300,K:
Si: 2,2times10^10,cm^-3;
Ge: 1,9times10^13,cm^-3;
GaAs: 2,0times10^6,cm^-3.

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