2 Mostre, com relação ao potencial químico, que para dopagem tipo P
mu=Ev-kB T ln (NANv)
enquanto que para dopagem tipo N :
mu=Ec+kB T ln (NDNc)
Explique qualitativamente o efeito da dopagem sobre um semicondutor.

Passo 1

O enunciado pede para obter, em semicondutores não degenerados, a posição do potencial químico / nível de Fermi mu em função da dopagem tipo P (aceitadores NA) e tipo N (doadores ND), usando temperatura T, constantes de Boltzmann kB e as densidades de estados efetivas das bandas Nv e Nc.

Passo 2

Em semicondutores não degenerados a concentração de elétrons n e de lacunas p em equilíbrio valem:
n = Nc , e^-(Ec - mu)/(kB T),
p = Nv , e^-(mu - Ev)/(kB T)
Aqui usamos a aproximação de Maxwell–Boltzmann para a estatística de Fermi-Dirac e densidade de estados efetiva.

Passo 3

Para dopagem tipo P assumimos ionização completa dos aceitadores e que as lacunas majoritárias valem p approx NA. Substituindo em
p = Nv , e^-(mu - Ev)/(kB T)
temos
NA = Nv , e^-(mu - Ev)/(kB T)
Tomando logaritmo:
lnl(NANvr) = -mu - EvkB TRightarrow mu = Ev - kB T lnl(NANvr)

Passo 4

Para dopagem tipo N assumimos ionização completa dos doadores e que os elétrons majoritários valem n approx ND. Substituindo em
n = Nc , e^-(Ec - mu)/(kB T)
obtemos
ND = Nc , e^-(Ec - mu)/(kB T)
Tomando logaritmo:
lnl(NDNcr) = -Ec - mukB TRightarrow mu = Ec + kB T lnl(NDNcr)

Passo 5

Qualitativamente, a dopagem insere portadores majoritários extra: aceitadores geram lacunas e deslocam mu para próximo de Ev, enquanto doadores geram elétrons e deslocam mu para próximo de Ec. Isso aumenta fortemente a condutividade elétrica pois há muito mais portadores disponíveis.

Resposta

Para dopagem tipo P: mu = Ev - kB T lnl(NA/Nvr). Para dopagem tipo N: mu = Ec + kB T lnl(ND/Ncr). Qualitativamente, dopar com aceitadores § atrai o nível de Fermi para a banda de valência, enquanto dopar com doadores (N) o empurra para a banda de condução, aumentando a concentração de portadores majoritários e, portanto, a condutividade elétrica.

Exercícios relacionados