Lei de Ampère: A lei de Ampère afirma que se a densidade de corrente elétrica é descrita por um campo vetorial J e o campo magnético induzido é H, então a circulação de H ao redor da fronteira C de uma superfície S é igual a integral de superfície de J através de S (a corrente total que atravessa S ):
ointC H cdot d r=integral duplaSlang<= J, nrang<= d s
A partir da equação de Maxwell estacionária rot(H)=J, demonstre a lei de Ampère.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético $ H $ com a densidade de corrente elétrica $ J $. A gente precisa usar uma das equações de Maxwell estacionárias, que é $ \nabla \times H = J $, para mostrar que a Lei de Ampère está correta. Basicamente, vamos conectar a forma diferencial dessa equação com a forma integral da Lei de Ampère usando um pouco de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ \nabla \times H = J $. Aqui, $ \nabla \times H $ representa o rotacional do campo magnético $ H $, e isso é igual à densidade de corrente $ J $. O rotacional nos mostra como o campo $ H $ “gira” ao redor de um ponto, e igualar isso à corrente nos dá uma relação direta entre corrente e campo magnético.

Passo 3

Agora, para passar da forma diferencial para a forma integral, vamos usar o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta o rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao redor de uma curva fechada. Em termos matemáticos, o Teorema de Stokes diz:
ointC H cdot dr = integral duplaS (nabla times H) cdot n , ds
Onde:
  • $ C $ é a curva fechada que delimita a superfície $ S $.
  • $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $.
  • $ d\vec{r} $ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo de $ C $.
  • $ ds $ é um elemento infinitesimal de área na superfície $ S $.

Passo 4

Substituindo a equação de Maxwell $ \nabla \times H = J $ na equação do Teorema de Stokes, temos:
nabla times H = J
Aqui, $ J \cdot \vec{n} $ representa a componente de $ J $ que atravessa a superfície $ S $, ou seja, a densidade de corrente passando por $ S $.

Passo 5

A integral de superfície $ \iint_{S} J \cdot \vec{n} , ds $ é na verdade a corrente total $ I $ que atravessa a superfície $ S $. Então, podemos simplificar a expressão para:
integral duplaS J cdot n , ds
Essa é exatamente a Lei de Ampère na sua forma integral, que relaciona a circulação do campo magnético $ H $ ao redor de um caminho fechado $ C $ com a corrente total que passa pela superfície limitada por $ C $.

Resposta

Assim, demonstramos que $ \oint_{C} H \cdot d\vec{r} = \iint_{S} J \cdot \vec{n} , ds $, que é a Lei de Ampère.

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