Lei de Ampère: A lei de Ampère afirma que se a densidade de corrente elétrica é descrita por um campo vetorial
e o campo magnético induzido é
, então a circulação de
ao redor da fronteira
de uma superfície
é igual a integral de superfície de
através de
(a corrente total que atravessa
):
A partir da equação de Maxwell estacionária
, demonstre a lei de Ampère.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a Lei de Ampère, que relaciona o campo magnético $ H $ com a densidade de corrente elétrica $ J $. A gente precisa usar uma das equações de Maxwell estacionárias, que é $ \nabla \times H = J $, para mostrar que a Lei de Ampère está correta. Basicamente, vamos conectar a forma diferencial dessa equação com a forma integral da Lei de Ampère usando um pouco de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa $ \nabla \times H = J $. Aqui, $ \nabla \times H $ representa o rotacional do campo magnético $ H $, e isso é igual à densidade de corrente $ J $. O rotacional nos mostra como o campo $ H $ “gira” ao redor de um ponto, e igualar isso à corrente nos dá uma relação direta entre corrente e campo magnético.
Passo 3
Agora, para passar da forma diferencial para a forma integral, vamos usar o Teorema de Stokes. Esse teorema conecta o rotacional de um campo vetorial com a integral de linha ao redor de uma curva fechada. Em termos matemáticos, o Teorema de Stokes diz:
Onde:
- $ C $ é a curva fechada que delimita a superfície $ S $.
- $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície $ S $.
- $ d\vec{r} $ é um elemento infinitesimal de comprimento ao longo de $ C $.
- $ ds $ é um elemento infinitesimal de área na superfície $ S $.
Passo 4
Substituindo a equação de Maxwell $ \nabla \times H = J $ na equação do Teorema de Stokes, temos:
Aqui, $ J \cdot \vec{n} $ representa a componente de $ J $ que atravessa a superfície $ S $, ou seja, a densidade de corrente passando por $ S $.
Passo 5
A integral de superfície $ \iint_{S} J \cdot \vec{n} , ds $ é na verdade a corrente total $ I $ que atravessa a superfície $ S $. Então, podemos simplificar a expressão para:
Essa é exatamente a Lei de Ampère na sua forma integral, que relaciona a circulação do campo magnético $ H $ ao redor de um caminho fechado $ C $ com a corrente total que passa pela superfície limitada por $ C $.
Resposta
Assim, demonstramos que $ \oint_{C} H \cdot d\vec{r} = \iint_{S} J \cdot \vec{n} , ds $, que é a Lei de Ampère.