(Corrente Superficial) Uma corrente superficial \vec{K}=K_{0} \hat{x} percorre o plano z= 0 . Determine a descontinuidade de \vec{B} através do plano aplicando o Teorema de Stokes.

Passo 1

O enunciado dá uma corrente superficial localizada no plano z=0 com densidade
\vec{K} = K_{0}\,\hat{x}.
Pede-se: determinar a descontinuidade de \vec{B} ao atravessar esse plano, aplicando o Teorema de Stokes (ou, equivalentemente, a forma integral da Lei de Ampère para magnetostática). Informações relevantes que temos:
\text{corrente superficial: }\vec{K}=K_{0}\hat{x},\qquad\text{superfície: }z=0.í
Não foi dada nenhuma informação adicional sobre \vec{B} longe da superfície; devemos achar a relação entre \vec{B} imediatamente acima ( z=0^+) e imediatamente abaixo ( z=0^-) do plano.

Passo 2

Lembrete do instrumento que vamos usar (aula rápida e direta): o Teorema de Stokes aplicado ao campo magnético em magnetostática dá a forma integral da lei de Ampère:
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}},
onde I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando uma superfície S cujo contorno é C. Aqui \mu_0 é a permeabilidade do vácuo. Explicando em palavras: a circulação de \vec{B} ao redor de um caminho fechado é igual a \mu_0 vezes a corrente que passa pela superfície delimitada por esse caminho. É exatamente o que usamos para relacionar saltos (descontinuidades) de componentes tangenciais de \vec{B} com correntes superficiais.

Passo 3

Escolha geométrica do laço C e da superfície S (isso é crucial e sempre vale a pena desenhar mentalmente): tomamos um retângulo pequeno cujo plano é o plano y\!-\!z, centrado na origem, com dimensão l ao longo de y e altura h ao longo de z. As arestas superiores e inferiores são paralelas ao eixo y e ficam em z=+\,\varepsilon e z=-\,\varepsilon, com \varepsilon\to0. O contorno é percorrido no sentido que, pela regra da mão direita, dá vetor normal da superfície S apontando para +\hat{x} (vou escolher esse sentido pra que o corrente superficial em +\hat{x} conte como positiva). A superfície S é esse retângulo, e ela é atravessada pela corrente superficial \vec{K} porque \vec{K} está sobre o plano z=0 e tem componente ao longo de \hat{x}, que é precisamente a normal de S.

Passo 4

Calcular o termo da esquerda: a circulação \oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell}. Com a escolha do contorno (A→B→C→D→A) e no limite h\to0 (ou \varepsilon\to0), as contribuições das arestas verticais (paralelas a z) tendem a zero porque seu comprimento vai a zero. Restam apenas as duas arestas horizontais, em z=+\varepsilon e z=-\varepsilon. Se chamarmos B_y^{+} o componente y de \vec{B} em z=0^+ e B_y^{-} o componente y em z=0^-, a circulação vale
\oint_{C}\vec{B}\cdot d\vec{\ell} = l\,B_y^{+} - l\,B_y^{-} = l\bigl(B_y^{+}-B_y^{-}\bigr).
Aqui usei que nas arestas horizontais \vec{B}\cdot d\vec{\ell}=B_y\,dy e que a orientação do contorno faz com que a aresta de baixo entre com sinal negativo.

Passo 5

Calcular o termo da direita: \mu_0 I_{\text{enc}}. A corrente atravessando S é justamente a corrente superficial multiplicada pela largura l ao longo de y. Como \vec{K}=K_0\hat{x} e o vetor normal da superfície S que escolhemos é \hat{x}, temos
I_{\text{enc}} = \int_S \vec{J}\cdot d\vec{S} = \int_S \vec{K}\cdot\hat{x}\,dA = K_0\,l.
Portanto
\mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 K_0\,l.

Passo 6

Igualando as duas expressões da Lei de Ampère:
l\bigl(B_y^{+}-B_y^{-}\bigr)=\mu_0 K_0\,l.
Cancelando l (não nulo), obtemos a diferença da componente tangencial:
B_y^{+}-B_y^{-}=\mu_0 K_0.
Como não houve contribuição de outras componentes tangenciais neste laço, concluímos que a descontinuidade está na componente y.

Passo 7

Interpretação vetorial limpa (para usar em provas): a condição de contorno para \vec{B} através de uma superfície que carrega corrente superficial \vec{K} pode ser escrita de forma vetorial como
\bigl(\vec{B}(z=0^+)-\vec{B}(z=0^-)\bigr)\times\hat{z}=\mu_0\vec{K}.
Esta forma é equivalente ao que derivamos no retângulo e é útil porque dá diretamente a relação entre a diferença do campo magnético e a corrente superficial, para qualquer direção de \vec{K}. Se preferir isolar a diferença:
\vec{B}(z=0^+) - \vec{B}(z=0^-) = \mu_0\,\hat{z}\times\vec{K}.
Usando \vec{K}=K_0\hat{x} e \hat{z}\times\hat{x}=\hat{y}, obtemos a expressão concreta.

Passo 8

Aplicando ao caso dado:
\vec{B}(z=0^+) - \vec{B}(z=0^-) = \mu_0 K_0\,\hat{y}.
Observação final didática e útil para prova: a componente normal de \vec{B} é contínua (porque \nabla\cdot\vec{B}=0), então não há salto na componente ao longo de \hat{z}; apenas as componentes tangenciais sofrem salto determinado por \vec{K}.

Resposta

\displaystyle \vec{B}(z=0^+)-\vec{B}(z=0^-)=\mu_0 K_0\,\hat{y}

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