(Corrente Superficial) Uma corrente superficial
percorre o plano
0 . Determine a descontinuidade de
através do plano aplicando o Teorema de Stokes.
Passo 1
O enunciado dá uma corrente superficial localizada no plano
com densidade
Pede-se: determinar a descontinuidade de
ao atravessar esse plano, aplicando o Teorema de Stokes (ou, equivalentemente, a forma integral da Lei de Ampère para magnetostática). Informações relevantes que temos:
Não foi dada nenhuma informação adicional sobre
longe da superfície; devemos achar a relação entre
imediatamente acima (
) e imediatamente abaixo (
) do plano.
Passo 2
Lembrete do instrumento que vamos usar (aula rápida e direta): o Teorema de Stokes aplicado ao campo magnético em magnetostática dá a forma integral da lei de Ampère:
onde
é a corrente total atravessando uma superfície
cujo contorno é
. Aqui
é a permeabilidade do vácuo. Explicando em palavras: a circulação de
ao redor de um caminho fechado é igual a
vezes a corrente que passa pela superfície delimitada por esse caminho. É exatamente o que usamos para relacionar saltos (descontinuidades) de componentes tangenciais de
com correntes superficiais.
Passo 3
Escolha geométrica do laço
e da superfície
(isso é crucial e sempre vale a pena desenhar mentalmente): tomamos um retângulo pequeno cujo plano é o plano
, centrado na origem, com dimensão
ao longo de
e altura
ao longo de
. As arestas superiores e inferiores são paralelas ao eixo
e ficam em
e
, com
. O contorno é percorrido no sentido que, pela regra da mão direita, dá vetor normal da superfície
apontando para
(vou escolher esse sentido pra que o corrente superficial em
conte como positiva). A superfície
é esse retângulo, e ela é atravessada pela corrente superficial
porque
está sobre o plano
e tem componente ao longo de
, que é precisamente a normal de
.
Passo 4
Calcular o termo da esquerda: a circulação
. Com a escolha do contorno (A→B→C→D→A) e no limite
(ou
), as contribuições das arestas verticais (paralelas a
) tendem a zero porque seu comprimento vai a zero. Restam apenas as duas arestas horizontais, em
e
. Se chamarmos
o componente
de
em
e
o componente
em
, a circulação vale
Aqui usei que nas arestas horizontais
e que a orientação do contorno faz com que a aresta de baixo entre com sinal negativo.
Passo 5
Calcular o termo da direita:
. A corrente atravessando
é justamente a corrente superficial multiplicada pela largura
ao longo de
. Como
e o vetor normal da superfície
que escolhemos é
, temos
Portanto
Passo 6
Igualando as duas expressões da Lei de Ampère:
Cancelando
(não nulo), obtemos a diferença da componente tangencial:
Como não houve contribuição de outras componentes tangenciais neste laço, concluímos que a descontinuidade está na componente
.
Passo 7
Interpretação vetorial limpa (para usar em provas): a condição de contorno para
através de uma superfície que carrega corrente superficial
pode ser escrita de forma vetorial como
Esta forma é equivalente ao que derivamos no retângulo e é útil porque dá diretamente a relação entre a diferença do campo magnético e a corrente superficial, para qualquer direção de
. Se preferir isolar a diferença:
Usando
e
, obtemos a expressão concreta.
Passo 8
Aplicando ao caso dado:
Observação final didática e útil para prova: a componente normal de
é contínua (porque
), então não há salto na componente ao longo de
; apenas as componentes tangenciais sofrem salto determinado por
.