Um balão esférico ao ser inflado tem seu raio dado em função do tempo pela expressão r(t)=3 raiz[3]t+8 para 0 <= t <= 10. Determine a taxa de variação em relação ao tempo das seguintes grandezas em t=8 : raio do balão r(t)

Passo 1

Estamos com um balão esférico cujo raio varia segundo a lei r(t)=3\sqrt[3]{t+8}, para 0≤t≤10. O conteúdo principal é derivação de função potência composta (regra da cadeia) para achar a velocidade de crescimento do raio.

Passo 2

Para usar a regra da cadeia, escrevemos r(t)=3(t+8)^{1/3}. A derivada de (t+8)^{1/3} é \tfrac{1}{3}(t+8)^{-2/3}, e o fator 3 na frente cancela com o \tfrac{1}{3} gerado pela derivação da potência.

Passo 3

Portanto, aplicando a derivada de r(t) obtemos: drdt=3cdot13(t+8)^-2/3=(t+8)^-2/3

Passo 4

Basta agora avaliar em t=8: substituindo t+8=16, temos (8+8)^-2/3=16^-2/3=1(raiz[3]16)^2

Resposta

drdt|t=8=1(raiz[3]16)^2

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