Lei dos cossenos. Considere dois vetores de módulos iguais a 12,0 e 18,0 unidades de comprimento. Determine o ângulo entre eles quando o vetor resultante da soma desses dois vetores tem módulo igual a 15,0 unidades de comprimento.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois vetores com módulos iguais a 12{,}0 e 18{,}0 unidades, e a soma desses vetores forma um vetor resultante de módulo 15{,}0. A tarefa é descobrir o ângulo \theta entre eles. O conteúdo que vamos usar é a lei dos cossenos aplicada à soma de vetores:
R^2 = A^2 + B^2 + 2\,A\,B\cos\theta
onde A e B são os módulos dos dois vetores e R é o módulo do resultante.

Passo 2

Escrevendo a lei dos cossenos para o nosso caso, com A=12{,}0, B=18{,}0 e R=15{,}0:
15{,}0^2 = 12{,}0^2 + 18{,}0^2 + 2 \times 12{,}0 \times 18{,}0 \times \cos\theta

Passo 3

Calculamos os quadrados e somas:
15{,}0^2 = 225,\quad 12{,}0^2 = 144,\quad 18{,}0^2 = 324,
então
225 = 144 + 324 + 2 \times 12 \times 18 \times \cos\theta
225 = 468 + 432\,\cos\theta

Passo 4

Isolando \cos\theta:
432\,\cos\theta = 225 - 468 = -243
\cos\theta = \frac{-243}{432} = -0{,}5625
e, finalmente,
\theta = \operatorname{arccos}(-0{,}5625)\approx 124{,}3^\circ

Resposta

O ângulo entre os vetores é aproximadamente 124{,}3^\circ.

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