Lei dos cossenos. Considere dois vetores de módulos iguais a 12,0 e 18,0 unidades de comprimento. Determine o ângulo entre eles quando o vetor resultante da soma desses dois vetores tem módulo igual a 25,0 unidades de comprimento.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores cujos módulos são \,12{,}0 e \,18{,}0 e diz que o módulo da soma é \,25{,}0. Queremos encontrar o ângulo \theta entre eles. O conteúdo principal é a lei dos cossenos aplicada a vetores, que relaciona o módulo da soma ao módulo de cada vetor e ao cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Pela lei dos cossenos para vetores,
|\mathbf{A} + \mathbf{B}|^2 = |\mathbf{A}|^2 + |\mathbf{B}|^2 + 2\,|\mathbf{A}|\,|\mathbf{B}|\,\cos\theta.

Passo 3

Substituindo |\mathbf{A}|=12{,}0, |\mathbf{B}|=18{,}0 e |\mathbf{A}+\mathbf{B}|=25{,}0, temos
25{,}0^2 = 12{,}0^2 + 18{,}0^2 + 2\cdot12{,}0\cdot18{,}0\;\cos\theta.
Calculando os quadrados:
625 = 144 + 324 + 432\,\cos\theta \quad\Longrightarrow\quad 625 = 468 + 432\,\cos\theta
432\,\cos\theta = 625 - 468 = 157 \quad\Longrightarrow\quad \cos\theta = \frac{157}{432}\approx0{,}3634.

Passo 4

Para encontrar \theta, aplicamos a função arco cosseno:
\theta = \operatorname{arccos}\bigl(0{,}3634\bigr)\approx68{,}7^\circ.

Resposta

\theta \approx 68{,}7^\circ

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