Uma folha infinita possui uma densidade superficial de carga positiva. Os pontos A e B estão loclaizados a distâncias de 5,0 c m e 10,0 c m da folha, respectivamente. (a) A diferença de potencial V_{B}-V_{A} é positiva ou negativa? Se o módulo dessa diferença de potencial for de 20,0 \mathrm{~V}, qual é (b) o valor do campo elétrico na região que contém A e B e (c) o valor numérico da densidade de carga na folha?

Passo 1

O enunciado descreve uma folha infinita com densidade superficial de carga positiva \sigma. Os pontos A e B estão, respectivamente, a d_A=5{,}0\\ \mathrm{cm} e d_B=10{,}0\\ \mathrm{cm} de distância da folha. Precisamos determinar:
  • (a) o sinal de \,V_{B}-V_{A},
  • (b) o valor do campo elétrico \vec E na região entre A e B,
  • (c) a densidade de carga \sigma.
Para isso usaremos:
  1. O campo de uma folha infinita:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\quad(\text{módulo constante})ó
  1. A relação entre diferença de potencial e campo:
V_{B}-V_{A}=-\int_{A}^{B}\vec E\cdot d\vec r = -E\,(d_{B}-d_{A}).

Passo 2

Como \sigma>0, o campo \vec E aponta para longe da folha. Se deslocamos um teste positivo de A (mais próximo) para B (mais distante), vamos na direção de \vec E, onde o potencial decresce. Logo
V_{B}-V_{A}<0.

Passo 3

Dado \bigl|V_{B}-V_{A}\bigr|=20{,}0\\ \mathrm{V} e \Delta d=d_{B}-d_{A}=10{,}0\\ \mathrm{cm}-5{,}0\\ \mathrm{cm}=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}, escrevemos
20{,}0 = \bigl|V_{B}-V_{A}\bigr| = E\,\Delta d \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{20{,}0}{0{,}05} = 400\\ \mathrm{V/m}.

Passo 4

Usando E=\sigma/(2\varepsilon_0) e \varepsilon_0=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}, temos
\sigma = 2\,\varepsilon_0\,E = 2 \times 8{,}85\times10^{-12}\times400 =7{,}08\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.

Resposta

(a) \,V_{B}-V_{A} é negativa.
(b) E=400\\ \mathrm{V/m}.
(c) \sigma=7{,}08\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m^2}.

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