Se, na lei de Coulomb, o expoente da distância que figura no denominador fosse diferente de 2, quais seriam, entre os seguintes resultados ou leis da eletrostática, os que permaneceriam válidos e os que estariam errados?
b) Teorema de Gauss (igualdade do campo elétrico através de uma superfície fechada e da carga total compreendida na superfície, à parte o factor 1 / e0 );

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma pergunta sobre como a Lei de Coulomb funciona e o que aconteceria se a distância na fórmula não tivesse o expoente 2, que é o que realmente usamos. A matéria tá no escuro de Eletrostática, especificamente nas Leis de Coulomb e no Teorema de Gauss. A gente vai precisar entender essas duas leis pra ver se o Teorema de Gauss ainda funciona se a Lei de Coulomb mudar o expoente da distância.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar rapidinho o que é a Lei de Coulomb. Ela diz que a força entre duas cargas elétricas é proporcional ao produto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. A fórmula é:
F = k q1 q2r^2
Agora, o Teorema de Gauss é uma ferramenta poderosa na eletrostática que relaciona o fluxo elétrico passando por uma superfície fechada com a carga total dentro dessa superfície. A fórmula do Teorema de Gauss é:
oint E cdot dA = Qencvarepsilon0
Queremos saber se, se mudarmos o expoente do $ r $ na Lei de Coulomb para algo diferente de 2, o Teorema de Gauss continua valendo ou não.

Passo 3

Vamos pensar no que acontece com o campo elétrico $ \mathbf{E} $ quando mudamos o expoente do $ r $. Se a Lei de Coulomb passa a ser:
E
Então, o campo elétrico ficaria:
r
O Teorema de Gauss depende de como o campo elétrico $ \mathbf{E} $ se comporta em relação à distância $ r $. No caso padrão, com $ n = 2 $, o fluxo elétrico através de uma superfície esférica não depende do raio da esfera, porque o aumento da área da superfície compensa exatamente o decaimento $ 1/r^2 $ do campo elétrico.

Passo 4

Se mudarmos o expoente para outro valor que não seja 2, por exemplo, $ n \neq 2 $, o campo elétrico agora varia como $ 1/r^n $. A área de uma esfera é $ A = 4\pi r^2 $, então o fluxo elétrico seria:
n neq 2
Note que aqui o fluxo elétrico dependeria de $ r^{2 - n} $. Se $ n \neq 2 $, esse valor muda com o raio da esfera, o que significa que o fluxo não seria mais constante e não só dependeria da carga dentro, mas também do tamanho da superfície.

Passo 5

O Teorema de Gauss afirma que o fluxo elétrico através de qualquer superfície fechada depende apenas da carga total dentro dessa superfície e não do tamanho ou forma da superfície. No entanto, vimos que se $ n \neq 2 $, o fluxo elétrico dependeria do raio $ r $. Isso quebra a essência do Teorema de Gauss, que precisa do fluxo ser independente do tamanho da superfície.

Resposta

Então, se o expoente da distância na Lei de Coulomb for diferente de 2, o Teorema de Gauss não permanece válido. Ele depende exatamente desse expoente 2 para que o fluxo elétrico seja proporcional apenas à carga total dentro da superfície fechada, sem se preocupar com o tamanho da superfície.

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