Duas partículas idênticas, cada qual com a massa
e a carga
, estão separadas pela distância
. Mostrar que, se ambas forem libertadas simultaneamente, as respectivas velocidades, ao estarem a distância infinitamente grandes uma da outra, têm o módulo
, sendo
a velocidade que uma das massas teria, a grande distância da outra, se somente ela fosse móvel e a outra fixa.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o enunciado nos apresenta. Temos duas partículas idênticas, cada uma com massa
e carga
, separadas por uma distância
. Quando liberadas ao mesmo tempo, queremos mostrar que, quando elas estiverem a uma distância infinitamente grande uma da outra, a velocidade de cada uma será
, onde
é a velocidade que uma das partículas teria se a outra estivesse fixa.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de conservação de energia e conservação do momento linear. Precisamos entender como a energia potencial se transforma em energia cinética e como o movimento das partículas afeta o momento total do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia potencial elétrica (
) entre as duas partículas quando estão separadas por uma distância
. A energia potencial elétrica é dada por:
onde
é a constante de Coulomb.
Essa energia potencial será convertida em energia cinética quando as partículas se afastarem.
Passo 3
Se considerarmos apenas uma partícula se movendo enquanto a outra está fixa, a energia potencial se transforma totalmente na energia cinética da partícula móvel. A energia cinética (
) é dada por:
Igualando a energia potencial à energia cinética:
Dessa equação, podemos isolar
:
Essa é a velocidade
que uma partícula teria se a outra estivesse fixa.
Passo 4
Agora, vamos considerar as duas partículas se movendo. Como elas são idênticas e liberadas simultaneamente, elas terão a mesma velocidade, mas em direções opostas. Vamos chamar essa velocidade de
.
Como o sistema está isolado, o momento total inicial é zero. Portanto, o momento total final também deve ser zero, o que significa que as duas partículas devem ter o mesmo módulo de velocidade.
Passo 5
A energia potencial inicial ainda é:
Essa energia agora será distribuída nas energias cinéticas das duas partículas. A energia cinética total (
) será:
Igualando a energia potencial à energia cinética total:
Passo 6
Comparando com o caso em que apenas uma partícula se move, temos:
E para as duas partículas:
Podemos relacionar as duas expressões:
Simplificando os termos:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, as velocidades das partículas quando estiverem a uma distância infinitamente grande uma da outra são iguais a
.