Duas partículas idênticas, cada qual com a massa m e a carga q, estão separadas pela distância d. Mostrar que, se ambas forem libertadas simultaneamente, as respectivas velocidades, ao estarem a distância infinitamente grandes uma da outra, têm o módulo v / raiz2, sendo v a velocidade que uma das massas teria, a grande distância da outra, se somente ela fosse móvel e a outra fixa.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o enunciado nos apresenta. Temos duas partículas idênticas, cada uma com massa m e carga q, separadas por uma distância d. Quando liberadas ao mesmo tempo, queremos mostrar que, quando elas estiverem a uma distância infinitamente grande uma da outra, a velocidade de cada uma será v / raiz2, onde v é a velocidade que uma das partículas teria se a outra estivesse fixa.
Aqui, vamos trabalhar com conceitos de conservação de energia e conservação do momento linear. Precisamos entender como a energia potencial se transforma em energia cinética e como o movimento das partículas afeta o momento total do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia potencial elétrica ( U) entre as duas partículas quando estão separadas por uma distância d. A energia potencial elétrica é dada por:
U = k q^2d
onde k é a constante de Coulomb.
Essa energia potencial será convertida em energia cinética quando as partículas se afastarem.

Passo 3

Se considerarmos apenas uma partícula se movendo enquanto a outra está fixa, a energia potencial se transforma totalmente na energia cinética da partícula móvel. A energia cinética ( K) é dada por:
K = 12 m v^2
Igualando a energia potencial à energia cinética:
k q^2d = 12 m v^2
Dessa equação, podemos isolar v:
v = raiz2 k q^2m d
Essa é a velocidade v que uma partícula teria se a outra estivesse fixa.

Passo 4

Agora, vamos considerar as duas partículas se movendo. Como elas são idênticas e liberadas simultaneamente, elas terão a mesma velocidade, mas em direções opostas. Vamos chamar essa velocidade de u.
Como o sistema está isolado, o momento total inicial é zero. Portanto, o momento total final também deve ser zero, o que significa que as duas partículas devem ter o mesmo módulo de velocidade.

Passo 5

A energia potencial inicial ainda é:
U = k q^2d
Essa energia agora será distribuída nas energias cinéticas das duas partículas. A energia cinética total ( Ktotal) será:
Ktotal = 12 m u^2 + 12 m u^2 = m u^2
Igualando a energia potencial à energia cinética total:
k q^2d = m u^2

Passo 6

Comparando com o caso em que apenas uma partícula se move, temos:
k q^2d = 12 m v^2
E para as duas partículas:
k q^2d = m u^2
Podemos relacionar as duas expressões:
m u^2 = 12 m v^2
Simplificando os termos:
u^2 = v^22
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
u = vraiz2

Resposta

Portanto, as velocidades das partículas quando estiverem a uma distância infinitamente grande uma da outra são iguais a v / raiz2.

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