Se, na lei de Coulomb, o expoente da distância que figura no denominador fosse diferente de 2, quais seriam, entre os seguintes resultados ou leis da eletrostática, os que permaneceriam válidos e os que estariam errados?
c) Valor nulo do rotacional do campo elétrico em qualquer ponto.
c) Valor nulo do rotacional do campo elétrico em qualquer ponto.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente está falando da Lei de Coulomb, que descreve a força entre duas cargas elétricas. Normalmente, nessa lei, a distância entre as cargas está elevada ao quadrado no denominador. A questão quer saber: se esse expoente não fosse 2, quais outras leis ou resultados da eletrostática continuariam válidos e quais não seriam mais certos. Mais especificamente, na parte ©, estamos perguntando se o rotacional do campo elétrico seria nulo em qualquer ponto nessa situação.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o rotacional do campo elétrico e como ele está relacionado com a Lei de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o rotacional de um campo elétrico. O rotacional, representado por ∇×E, mede a tendência do campo elétrico de “girar” ao redor de um ponto. Em eletrostática, onde os campos elétricos são estáticos (não mudam no tempo), sabemos que o rotacional do campo elétrico é zero. Isso significa que o campo é “conservativo”, ou seja, ele não tem essas rotações.
Matematicamente, para o campo elétrico padrão da Lei de Coulomb, temos:
onde $ r $ é a distância entre as cargas, $ q $ é a carga, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 3
Agora, vamos imaginar que na Lei de Coulomb, o expoente da distância no denominador não seja 2, mas sim outro valor, digamos $ n $. Então, nosso campo elétrico ficaria:
Queremos saber se, com esse novo expoente $ n $, o rotacional de $ \mathbf{E} $ ainda seria zero.
Passo 4
Para verificar isso, precisamos calcular o rotacional desse novo campo elétrico. Em coordenadas esféricas, o rotacional de um campo radial puro (isto é, que aponta somente na direção radial) depende do quanto o campo varia com a distância $ r $.
Fazendo a operação, temos:
se o campo depender apenas de $ r $ e não tiver componentes angulares. Isso ocorre porque não há variação angular no campo, então não há “giro”.
No caso do campo com $ n \neq 2 $, mesmo que o campo ainda seja radial e dependa apenas de $ r $, o cálculo do rotacional ainda resulta em zero. Isso porque o rotacional está relacionado às variações angulares e como o campo gira ao redor de um ponto, e não apenas com o poder de $ r $ no denominador.
Passo 5
Porém, a Lei de Coulomb com $ n \neq 2 $ não preserva todas as outras propriedades fundamentais da eletrostática. Por exemplo, a lei de Gauss, que nos ajuda a calcular campos elétricos com simetria, depende diretamente do fato do campo seguir um inverso do quadrado da distância.
Mas focando na questão específica sobre o rotacional do campo elétrico, mesmo com $ n \neq 2 $, o rotacional permanece zero, desde que o campo seja apenas radial e não haja componentes angulares.
Resposta
Com um expoente diferente de 2 na distância na Lei de Coulomb, o rotacional do campo elétrico permanece nulo em qualquer ponto. Portanto, o resultado de que o rotacional do campo elétrico é zero ainda é válido.