Questão (3(4 , 5)) : Considere o campo vetorial
Calcule o trabalho realizado por
para deslocar uma partícula através das seguintes curvas:
: triângulo de vértices
e
, orientado no sentido anti horário.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede o trabalho realizado por
ao deslocar uma partícula ao longo da curva fechada
, que é o triângulo com vértices
,
e
, orientado no sentido anti-horário (sentido positivo).
Informações relevantes extraídas do enunciado: os vértices do triângulo são ,
,
; a curva é fechada e orientada anti-horário; o trabalho pedido é a integral de linha de
ao longo de
, isto é
.
Informações relevantes extraídas do enunciado: os vértices do triângulo são
Passo 2
Escolha do método e justificativa: como
é uma curva fechada e simples que limita uma região plana (o triângulo), é conveniente usar o Teorema de Green para transformar a integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região
interior ao triângulo. O Teorema de Green (caso plano, orientação positiva) afirma:
desde que
e
tenham derivadas parciais contínuas na região que contém
. No nosso caso
e
são somas de funções polinomiais e
,
, logo as derivadas parciais são contínuas; portanto podemos aplicar Green sem problema. Usar Green evita parametrizar cada lado do triângulo e calcular três integrais de linha separadas.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais
e
explicitamente.
Escrevendo novamente
Derivando
em relação a
:
Como
independe de
, sua derivada é zero. Temos
Derivando
em relação a
:
Como
independe de
, sua derivada é zero. Assim
Passo 4
Calcular o integrando de Green:
Simplificando termos semelhantes (observe que os
se cancelam):
Portanto, pelo Teorema de Green,
onde
é o triângulo com vértices dados.
Passo 5
Descrever a região
e estabelecer os limites da integral dupla.
O triângulo tem um lado vertical entre
e
(no eixo
) e o terceiro vértice em
. Para cada
entre
e
a ordenada
varia entre a reta que liga
a
(reta inferior) e a reta que liga
a
(reta superior).
Encontramos as equações das retas usando os pontos:
- Reta superior (entre
e ): o coeficiente angular é . Usando ponto , a equação é
- Reta inferior (entre
e ): o coeficiente angular é . Usando ponto , a equação é
Logo, para
em
temos
variando de
até
. Portanto a integral dupla fica
Passo 6
Calcular a integral iterada passo a passo.
Primeiro integrar em
:
Integramos termo a termo:
Portanto o primitivo em
é
. Avaliando entre
e
:
Calculemos as duas avaliações separadamente.
- Para
:
Expandindo:
- Para
:
Expandindo:
Agora a diferença (valor superior menos inferior) é
(Observação: há várias formas algébricas de chegar ao mesmo polinômio; esse é o resultado simplificado.)
Portanto a integral sobre
reduz-se a
Passo 7
Integrar em
e avaliar os limites.
Calcule as primitivas:
Logo
Avaliação em
dá
. Avaliação em
:
Portanto o valor da integral definida é
.
Observação: se conferir os coeficientes acima com precisão, notamos que uma das manipulações algébricas no Passo 6 podia levar a
dependendo de agrupamentos; para garantir consistência, recomputamos de forma direta (mais direta): a diferença entre os limites em Passo 6 pode ser calculada de maneira algébrica abreviada (já feita em forma alternativa) e conduz ao polinômio
Integrando este polinômio:
O resultado correto, após verificar cuidadosamente os cálculos algébricos (checando os coeficientes obtidos ao subtrair avaliações em
), é
Resposta
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