Questão 2(\mathbf{2 , 5}) : Considere o campo vetorial
\vec{F}(x, y, z)=\left(2 x y z^{3}+y \operatorname{sen}(x y)+2 x, x^{2} z^{3}+x \operatorname{sen}(x y)-z, 3 x^{2} y z^{2}-y+6 z^{2}-1\right) .
(a) Calcule \operatorname{div}(\vec{F}) e \operatorname{rot}(\vec{F});
(b) \vec{F} é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial f;
(c) Calcule o trabalho realizado por \vec{F} para movimentar uma partícula através de uma trajetória arbitrária que une A(1,0,1) a B(0,2,1).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\bigl(2 x y z^{3}+y\operatorname{sen}(x y)+2 x,\; x^{2} z^{3}+x\operatorname{sen}(x y)-z,\; 3 x^{2} y z^{2}-y+6 z^{2}-1\bigr)
e pede:
  1. Calcular \operatorname{div}(\vec{F}) e \operatorname{rot}(\vec{F}).
  2. Dizer se \vec{F} é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial f.
  3. Calcular o trabalho realizado por \vec{F} ao mover uma partícula por qualquer trajetória que una A(1,0,1) a B(0,2,1).
Informações relevantes fornecidas:
P(x,y,z)=2 x y z^{3}+y\operatorname{sen}(x y)+2 x,
Q(x,y,z)=x^{2} z^{3}+x\operatorname{sen}(x y)-z,
R(x,y,z)=3 x^{2} y z^{2}-y+6 z^{2}-1.
Estas são as componentes do campo \vec{F}=(P,Q,R). A partir delas vamos calcular derivadas parciais, divergente, rotacional, determinar conservatividade e, se for conservativo, achar f e o trabalho via diferença de potenciais.

Passo 2

Definição e cálculo do divergente. Lembre-se: a divergência de um campo \vec{F}=(P,Q,R) é
\operatorname{div}(\vec{F})=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial x}. Usamos regra do produto e regra da cadeia quando necessário.
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2 x y z^{3}\bigr)=2 y z^{3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\operatorname{sen}(x y)\bigr)=y\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x}=y\cdot\cos(xy)\cdot y=y^{2}\cos(xy),
\frac{\partial}{\partial x}(2x)=2.
Logo
\frac{\partial P}{\partial x}=2 y z^{3}+y^{2}\cos(xy)+2.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial y}.
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2} z^{3}\bigr)=0,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\operatorname{sen}(x y)\bigr)=x\cdot\cos(xy)\cdot\frac{\partial(xy)}{\partial y}=x\cdot\cos(xy)\cdot x=x^{2}\cos(xy),
\frac{\partial}{\partial y}(-z)=0.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial y}=x^{2}\cos(xy).
Calcule \dfrac{\partial R}{\partial z}.
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(3 x^{2} y z^{2}\bigr)=3 x^{2} y\cdot 2 z=6 x^{2} y z,
\frac{\partial}{\partial z}(-y)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(6 z^{2})=12 z,\qquad \frac{\partial}{\partial z}(-1)=0.
Logo
\frac{\partial R}{\partial z}=6 x^{2} y z+12 z.
Somando as três partes obtemos o divergente:
\operatorname{div}(\vec{F})=2 y z^{3}+y^{2}\cos(xy)+2 + x^{2}\cos(xy)+6 x^{2} y z+12 z.
Agrupando termos com \cos(xy):
\operatorname{div}(\vec{F})=2 y z^{3}+(x^{2}+y^{2})\cos(xy)+6 x^{2} y z+12 z+2.

Passo 3

Definição e cálculo do rotacional. Lembre: o rotacional (curl) é
\operatorname{rot}(\vec{F})=\nabla\times\vec{F}=\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Vamos calcular cada termo.
Já calculamos algumas derivadas antes; agora calcule as que faltam.
Calcule \dfrac{\partial R}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3 x^{2} y z^{2}\bigr)=3 x^{2} z^{2},
\frac{\partial}{\partial y}(-y)=-1,\qquad\text{os outros termos não dependem de }y.ã
Logo
\frac{\partial R}{\partial y}=3 x^{2} z^{2}-1.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2} z^{3}\bigr)=3 x^{2} z^{2},\qquad\frac{\partial}{\partial z}(-z)=-1,\qquad\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\operatorname{sen}(xy)\bigr)=0.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial z}=3 x^{2} z^{2}-1.
Portanto o primeiro componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=(3 x^{2} z^{2}-1)-(3 x^{2} z^{2}-1)=0.
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial z}:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(2 x y z^{3}\bigr)=6 x y z^{2},
os outros termos em P não dependem de z. Então
\frac{\partial P}{\partial z}=6 x y z^{2}.
Calcule \dfrac{\partial R}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3 x^{2} y z^{2}\bigr)=6 x y z^{2},
os outros termos em R não dependem de x. Logo
\frac{\partial R}{\partial x}=6 x y z^{2}.
Assim o segundo componente é
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=6 x y z^{2}-6 x y z^{2}=0.
Agora \dfrac{\partial Q}{\partial x} e \dfrac{\partial P}{\partial y}.
Calcule \dfrac{\partial Q}{\partial x}:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2} z^{3}\bigr)=2 x z^{3},
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\operatorname{sen}(xy)\bigr)=\operatorname{sen}(xy)+x\cos(xy)\cdot\frac{\partial(xy)}{\partial x}=\operatorname{sen}(xy)+x y\cos(xy),
\frac{\partial}{\partial x}(-z)=0.
Logo
\frac{\partial Q}{\partial x}=2 x z^{3}+\operatorname{sen}(xy)+x y\cos(xy).
Calcule \dfrac{\partial P}{\partial y}:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2 x y z^{3}\bigr)=2 x z^{3},
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\operatorname{sen}(xy)\bigr)=\operatorname{sen}(xy)+y\cos(xy)\cdot\frac{\partial(xy)}{\partial y}=\operatorname{sen}(xy)+x y\cos(xy),
\frac{\partial}{\partial y}(2x)=0.
Logo
\frac{\partial P}{\partial y}=2 x z^{3}+\operatorname{sen}(xy)+x y\cos(xy).
Assim o terceiro componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0.
Concluímos que
\operatorname{rot}(\vec{F})=\bigl(0,0,0\bigr)=\vec{0}.

Passo 4

Interpretação: encontramos \operatorname{rot}(\vec{F})=\vec{0} em todo \mathbb{R}^{3}. O campo está definido em todo o espaço \mathbb{R}^{3}, que é um domínio simplesmente conectado (isto significa que todo laço contínuo pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do domínio). Num domínio simplesmente conectado, se o rotacional de um campo é zero, então o campo é conservativo (existe uma função potencial f tal que \nabla f=\vec{F}). Portanto \vec{F} é conservativo.
Agora vamos achar explicitamente a função potencial f.

Passo 5

Construção da função potencial f. Queremos f tal que
\frac{\partial f}{\partial x}=P,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=Q,\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=R.
Integramos P em relação a x (tratando y,z como constantes):
f(x,y,z)=\int\bigl(2 x y z^{3}+y\operatorname{sen}(x y)+2 x\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo:
\int 2 x y z^{3}\,dx = y z^{3}\int 2x\,dx = y z^{3}\,x^{2},
\int y\operatorname{sen}(xy)\,dx = y\cdot\bigl(-\frac{\cos(xy)}{y}\bigr) = -\cos(xy)\quad\text{(pois \(y\) cancela)},
\int 2x\,dx = x^{2}.
Portanto, ao integrar por x obtemos, com uma função arbitrária h(y,z) (constante em relação a x):
f(x,y,z)=x^{2}y z^{3}+x^{2}-\cos(xy)+h(y,z).
Agora usamos a condição \dfrac{\partial f}{\partial y}=Q. Primeiro calcule \dfrac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=x^{2} z^{3} + x\operatorname{sen}(xy) + \frac{\partial h}{\partial y}(y,z).
Devemos igualar a Q:
x^{2} z^{3} + x\operatorname{sen}(xy) + h_{y}(y,z)=x^{2} z^{3}+x\operatorname{sen}(xy)-z.
Cancelando termos idênticos obtemos
h_{y}(y,z)=-z.
Integrando em relação a y:
h(y,z)=\int -z\,dy = -y z + k(z),
onde k(z) é função apenas de z.
Agora temos
f(x,y,z)=x^{2}y z^{3}+x^{2}-\cos(xy)-y z + k(z).
Usamos a condição \dfrac{\partial f}{\partial z}=R. Calcule \dfrac{\partial f}{\partial z}:
\frac{\partial f}{\partial z}=3 x^{2} y z^{2}-y + k'(z).
Deve ser igual a
R=3 x^{2} y z^{2}-y+6 z^{2}-1.
Logo
k'(z)=6 z^{2}-1.
Integrando:
k(z)=\int(6 z^{2}-1)\,dz = 2 z^{3}-z + C,
com constante arbitrária C.
Portanto uma função potencial vale (podemos incorporar C em seguida):
f(x,y,z)=x^{2}y z^{3}+x^{2}-\cos(xy)-y z +2 z^{3}-z + C.
Podemos escolher C=0 se quisermos uma forma explícita sem constante.

Passo 6

Cálculo do trabalho entre A(1,0,1) e B(0,2,1). Para um campo conservativo, o trabalho ao longo de qualquer trajetória de A até B é
W=f(B)-f(A).
Usamos a função potencial encontrada (constante C cancela na diferença).
Calcule f(B) em B(0,2,1):
f(0,2,1)=0^{2}\cdot 2\cdot 1^{3}+0^{2}-\cos(0\cdot 2)-2\cdot 1+2\cdot 1^{3}-1 + C.
Simplificando (lembre que \cos 0=1):
f(0,2,1)=0+0-1-2+2-1+C=-2+C.
Calcule f(A) em A(1,0,1):
f(1,0,1)=1^{2}\cdot 0\cdot 1^{3}+1^{2}-\cos(1\cdot 0)-0\cdot 1+2\cdot 1^{3}-1 + C.
Simplificando:
f(1,0,1)=0+1-1+0+2-1+C=1+C.
Assim o trabalho é
W=f(B)-f(A)=(-2+C)-(1+C)=-3.

Resposta

(a) \operatorname{div}(\vec{F})=2 y z^{3}+(x^{2}+y^{2})\cos(xy)+6 x^{2} y z+12 z+2,\qquad \operatorname{rot}(\vec{F})=\vec{0}.
(b) Sim. Uma função potencial é
f(x,y,z)=x^{2}y z^{3}+x^{2}-\cos(xy)-y z+2 z^{3}-z + C.
(c) Trabalho W=-3.

Exercícios relacionados