Questão
: Considere o campo vetorial
(a) Calcule
e
;
(b)
é conservativo? Em caso afirmativo, encontre sua função potencial
;
(c) Calcule o trabalho realizado por
para movimentar uma partícula através de uma trajetória arbitrária que une
a
.
(b)
(c) Calcule o trabalho realizado por
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
- Calcular
e . - Dizer se
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial . - Calcular o trabalho realizado por
ao mover uma partícula por qualquer trajetória que una a .
Informações relevantes fornecidas:
Estas são as componentes do campo
. A partir delas vamos calcular derivadas parciais, divergente, rotacional, determinar conservatividade e, se for conservativo, achar
e o trabalho via diferença de potenciais.
Passo 2
Definição e cálculo do divergente. Lembre-se: a divergência de um campo
é
Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Calcule
. Usamos regra do produto e regra da cadeia quando necessário.
Logo
Calcule
.
Logo
Calcule
.
Logo
Somando as três partes obtemos o divergente:
Agrupando termos com
:
Passo 3
Definição e cálculo do rotacional. Lembre: o rotacional (curl) é
Vamos calcular cada termo.
Já calculamos algumas derivadas antes; agora calcule as que faltam.
Calcule
:
Logo
Calcule
:
Logo
Portanto o primeiro componente do rotacional é
Calcule
:
os outros termos em
não dependem de
. Então
Calcule
:
os outros termos em
não dependem de
. Logo
Assim o segundo componente é
Agora
e
.
Calcule
:
Logo
Calcule
:
Logo
Assim o terceiro componente é
Concluímos que
Passo 4
Interpretação: encontramos
em todo
. O campo está definido em todo o espaço
, que é um domínio simplesmente conectado (isto significa que todo laço contínuo pode ser continuamente contraído a um ponto sem sair do domínio). Num domínio simplesmente conectado, se o rotacional de um campo é zero, então o campo é conservativo (existe uma função potencial
tal que
). Portanto
é conservativo.
Agora vamos achar explicitamente a função potencial
.
Passo 5
Construção da função potencial
. Queremos
tal que
Integramos
em relação a
(tratando
como constantes):
Integramos termo a termo:
Portanto, ao integrar por
obtemos, com uma função arbitrária
(constante em relação a
):
Agora usamos a condição
. Primeiro calcule
:
Devemos igualar a
:
Cancelando termos idênticos obtemos
Integrando em relação a
:
onde
é função apenas de
.
Agora temos
Usamos a condição
. Calcule
:
Deve ser igual a
Logo
Integrando:
com constante arbitrária
.
Portanto uma função potencial vale (podemos incorporar
em seguida):
Podemos escolher
se quisermos uma forma explícita sem constante.
Passo 6
Cálculo do trabalho entre
e
. Para um campo conservativo, o trabalho ao longo de qualquer trajetória de
até
é
Usamos a função potencial encontrada (constante
cancela na diferença).
Calcule
em
:
Simplificando (lembre que
):
Calcule
em
:
Simplificando:
Assim o trabalho é
Resposta
(a)
(b) Sim. Uma função potencial é
(b) Sim. Uma função potencial é
(c) Trabalho