Uma lei física, chamada de lei de Stefan-Boltzmann (SB), relaciona a taxa de transferência de radiação eletromagnética de um corpo (chamada de radiação de corpo negro) com a sua temperatura. A lei SB é parente da lei de Wien, o princípio que explica por que um objeto suficientemente quente emitirá luz visível, como quando uma brasa em uma fogueira fica vermelha, ou azul se estiver ainda mais quente. Um objeto com temperatura diferente de zero emitirá radiação eletromagnética. Por outro lado, um objeto que absorve energia através da radiação aumenta sua temperatura. A lei SB afirma que a potência eletromagnética P está relacionada com a temperatura T por P=\left(5.67 \times 10^{-8} \mathrm{~W} . \mathrm{m}^{-}\right. \left.{ }^{2} \mathrm{~K}^{-1}\right) \mathrm{T}^{4}
Se a potência solar incidente atingindo a Terra for \mathrm{P}=342 \mathrm{~W} \cdot \mathrm{~m}^{-2}, qual deveria ser a temperatura da Terra?

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • A lei de Stefan–Boltzmann relaciona potência irradiada por unidade de área com a temperatura por \displaystyle P=\sigma T^{4}.\n
  • O enunciado fornece a constante de Stefan–Boltzmann \displaystyle \sigma=5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}} (peguei esse valor do enunciado).\n
  • A potência solar média incidente mencionada é \displaystyle P=342\\ \mathrm{W\cdot m^{-2}} (peguei esse valor do enunciado).\n
  • A pergunta: qual deveria ser a temperatura da Terra (isto é, resolver para \displaystyle T a partir desses dados)?\n

Passo 2

Manipulação algébrica e explicação da fórmula (aula curta):\n
A lei de Stefan–Boltzmann dá a relação entre potência por área e temperatura:
P=\sigma T^{4}
onde \displaystyle P é a potência por unidade de área (unidade \mathrm{W\cdot m^{-2}}), \displaystyle \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann (unidade \mathrm{W\cdot m^{-2}\cdot K^{-4}}) e \displaystyle T é a temperatura absoluta em Kelvin (unidade \mathrm{K}).\n
Para encontrar \displaystyle T isolamos na fórmula: tomamos a quarta raiz (ou elevamos à potência 1/4):
T=\left(\dfrac{P}{\sigma}\right)^{1/4}
Explicando a quarta raiz de forma prática: a quarta raiz de um número é a raiz quadrada da raiz quadrada. Ou seja, primeiro calcula-se \sqrt{P/\sigma} e depois \sqrt{\text{resultado}} de novo.

Passo 3

Cálculo do quociente \displaystyle R=\dfrac{P}{\sigma} com detalhes numéricos:\n
Começo substituindo os valores dados:
R=\dfrac{342}{5{,}67\times10^{-8}}
Para manipular em notação científica, escrevo
R=342\times\dfrac{1}{5{,}67}\times10^{8}.
Calculando \dfrac{1}{5{,}67}\approx0{,}176366843 e multiplicando por 342 obtemos, aproximando razoavelmente,
R\approx6{,}03288\times10^{9}.

Passo 4

Tomando a quarta raiz via duas raízes quadradas (contas passo a passo):\n
Primeira raiz quadrada:
\sqrt{R}=\sqrt{6{,}03288\times10^{9}}=\sqrt{6{,}03288}\times10^{4{,}5}\approx2{,}45607\times31622{,}776\approx77656{,}95.
Segunda raiz quadrada (segunda aplicação da raiz quadrada, que dá a quarta raiz):
T=\sqrt{77656{,}95}\approx279\\ \mathrm{K}.
Aqui fiz as duas extrações de raiz com aproximações numéricas controladas (primeiro obtive \approx77656{,}95 e depois a raiz desse valor).

Passo 5

Converter para Celsius e comentar as hipóteses (o que esse número significa):\n
Para converter Kelvin para graus Celsius usamos \displaystyle T_{\mathrm{C}}=T-273{,}15. Assim
T_{\mathrm{C}}\approx279-273{,}15\approx5{,}9^\circ\mathrm{C}.
Observação importante (não altera o cálculo, só é contexto): esse cálculo assume que a Terra é um corpo negro perfeito que absorve toda a potência \displaystyle P e reemite como corpo negro. Na prática a Terra reflete parte da luz solar (albedo) e tem efeito estufa, então a temperatura real observada difere desse valor teórico.

Resposta

T\approx279\\ \mathrm{K}\approx6{,}0^\circ\mathrm{C}

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