A leì de um gás ideal confinado é
P . V=8 T
onde P é a pressão em \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2}, V é o volume em \mathrm{cm}^{3} e T é a temperatura em graus. Se o volume do gás é de 150 \mathrm{~cm}^{3} e a temperatura é de 100^{\circ}, pede-se:
Determine a taxa de variação da pressão em relação à temperatura para o volume fixo de 150 \mathrm{~cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a relação entre pressão, volume e temperatura:
P\cdot V = 8\,T,
onde:
  • P é a pressão em \mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2},
  • V é o volume em \mathrm{cm}^{3},
  • T é a temperatura em graus.
Valores numéricos fornecidos:
  • V=150\\ \mathrm{cm}^{3},
  • T=100^\circ (apenas informado; a taxa pedida será avaliada para o volume fixo).
O que o problema pede:
  • Determinar a taxa de variação da pressão em relação à temperatura, isto é \dfrac{dP}{dT}, supondo o volume fixo igual a 150\\ \mathrm{cm}^{3}.

Passo 2

Transformar a equação para obter P como função de T com V fixo. Da relação dada:
P\cdot V = 8\,T.
Isolando P:
P = \frac{8\,T}{V}.
Aqui ficou explícito que, para V fixo, P é diretamente proporcional a T: quando T muda, P muda linearmente segundo essa fórmula.

Passo 3

Explicar e calcular a derivada \dfrac{dP}{dT} com V constante. Como V é constante, derivando ambos os lados de P=\dfrac{8T}{V} em relação a T obtemos:
\frac{dP}{dT} = \frac{8}{V}.
(Outra forma: diferenciar a relação original \,P\cdot V=8T em relação a T. Como V é constante, V\frac{dP}{dT}=8, daí \frac{dP}{dT}=8/V.)
Agora substituir V=150\\ \mathrm{cm}^{3}:
\frac{dP}{dT} = \frac{8}{150} = \frac{4}{75}.
Converter para decimal (usar vírgula como separador):
\frac{4}{75} \approx 0,05333\ldots
Unidade: como P está em \mathrm{N}/\mathrm{cm}^{2} e T em graus, a unidade de \dfrac{dP}{dT} é \mathrm{N}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot^\circ). Isso também pode ser verificado dimensionalmente: \dfrac{8}{V} tem unidades \dfrac{\mathrm{N}\cdot\text{cm}/^\circ}{\mathrm{cm}^3}=\mathrm{N}/(\mathrm{cm}^2\cdot^\circ).
Observação útil para a prova: a taxa \dfrac{dP}{dT} depende apenas do volume quando a equação é da forma P=\dfrac{8T}{V}. Ou seja, para volume fixo, a variação é constante em relação a T.

Resposta

\dfrac{dP}{dT}=\dfrac{4}{75}\\ \mathrm{N}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot^\circ)\approx0,05333\\ \mathrm{N}/(\mathrm{cm}^{2}\cdot^\circ)

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