A leì de um gás ideal confinado é
P . V=8 T
onde P é a pressão em \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2}, V é o volume em \mathrm{cm}^{3} e T é a temperatura em graus. Se o volume do gás é de 150 \mathrm{~cm}^{3} e a temperatura é de 100^{\circ}, pede-se:
Determine a taxa de variação do volume em relação à pressão para a temperatura fixa de 100^{\circ}

Passo 1

O enunciado fornece a lei do gás ideal
P\cdot V = 8T,
com P em \mathrm{N/cm^{2}}, V em \mathrm{cm^{3}} e T em graus. Dá-se também que V=150\\ \mathrm{cm^{3}} e T=100^\circ.
A pergunta é: determinar a taxa de variação do volume em relação à pressão, isto é, calcular \dfrac{dV}{dP}, quando a temperatura está fixa em 100^\circ.

Passo 2

Como a temperatura é fixa, podemos tratar V como função de P. Para obter \dfrac{dV}{dP} fazemos diferenciação implícita em relação a P na equação \,P\cdot V(P)=8T. Vou lembrar rapidamente a regra do produto: se u(P) e v(P) são funções, então
\frac{d}{dP}\bigl(u v\bigr)=u\frac{dv}{dP}+v\frac{du}{dP}.
Aqui u=P e v=V(P). Como dP/dP=1, a derivada do lado esquerdo é
\frac{d}{dP}\bigl(PV\bigr)=P\frac{dV}{dP}+V.
O lado direito 8T é constante (porque T é fixo), logo sua derivada é zero.

Passo 3

Igualando as derivadas obtemos
P\frac{dV}{dP}+V=0.
Isolando \dfrac{dV}{dP} vem
\frac{dV}{dP}=-\frac{V}{P}.
Essa fórmula é muito útil: para temperatura fixa, a variação de V com P é -V/P.

Passo 4

Para avaliar numericamente precisamos do valor de P correspondente aos dados. Usamos \,P\cdot V=8T, então
P=\frac{8T}{V}.
Substituindo T=100^\circ e V=150\\ \mathrm{cm^{3}},
P=\frac{8\cdot 100}{150}=\frac{800}{150}=\frac{16}{3}\\ \mathrm{N/cm^{2}}.

Passo 5

Agora substituímos V=150 e P=\dfrac{16}{3} na fórmula \dfrac{dV}{dP}=-\dfrac{V}{P}:
\frac{dV}{dP}=-\frac{150}{16/3}=-150\cdot\frac{3}{16}=-\frac{450}{16}=-\frac{225}{8}.
Em forma decimal isso é -28,125. A unidade de \dfrac{dV}{dP} é \mathrm{cm^{3}/(N/cm^{2})} (ou, se preferir, \mathrm{cm^{5}/N}). O sinal negativo indica que, com temperatura fixa, um aumento da pressão provoca uma diminuição do volume.

Passo 6

Observação rápida (opcional): poderia também isolar V como V=\dfrac{8T}{P} e derivar diretamente para obter \dfrac{dV}{dP}=-\dfrac{8T}{P^{2}}; com P=\dfrac{8T}{V} isso reduz a -V/P e dá o mesmo resultado numérico.

Resposta

-\dfrac{225}{8}\\ \mathrm{cm^{3}/(N/cm^{2})} (aprox. -28,125\\ \mathrm{cm^{3}/(N/cm^{2})})

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