Encontre as integrais indefinidas:
\int \frac{\cos ^{3}(3 x)}{\operatorname{sen}^{\frac{1}{3}}(3 x)} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos^{3}(3x)}{\operatorname{sen}^{\frac{1}{3}}(3x)}\,dx.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função integranda é uma combinação de potências de seno e cosseno com argumento 3x.
  • A operação pedida é uma integral indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva mais uma constante C).

Passo 2

Ideia para simplificar a integral (ferramenta padrão para casos com potências de seno e cosseno): escrever \cos^{3}(3x) como \cos^{2}(3x)\cdot\cos(3x) e usar a identidade trigonométrica
\cos^{2}(3x)=1-\operatorname{sen}^{2}(3x).
Assim a integranda fica
\frac{\cos^{3}(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}=\frac{\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(3x)\bigr)\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}.
Agora fazemos a substituição natural para aproveitar \operatorname{sen}(3x): defina
u=\operatorname{sen}(3x).
Derivando, obtemos
du=3\cos(3x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \cos(3x)\,dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral:
\int \frac{\bigl(1-\operatorname{sen}^{2}(3x)\bigr)\cos(3x)}{\operatorname{sen}^{1/3}(3x)}\,dx = \int \frac{(1-u^{2})}{u^{1/3}}\cdot\frac{du}{3}.
Colocando o fator 1/3 fora:
\frac{1}{3}\int (1-u^{2})u^{-1/3}\,du.

Passo 3

Simplificar a expressão dentro da integral usando as regras de expoentes:
(1-u^{2})u^{-1/3}=u^{-1/3}-u^{2}u^{-1/3}=u^{-1/3}-u^{5/3}.
Então a integral é
\frac{1}{3}\int \bigl(u^{-1/3}-u^{5/3}\bigr)\,du.
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para a\neq -1,
\int u^{a}\,du=\frac{u^{a+1}}{a+1}.
Aplicando:
  • Para u^{-1/3}: a=-\tfrac{1}{3}, então
\int u^{-1/3}\,du=\frac{u^{2/3}}{2/3}=\frac{3}{2}u^{2/3}.
  • Para u^{5/3}: a=\tfrac{5}{3}, então
\int u^{5/3}\,du=\frac{u^{8/3}}{8/3}=\frac{3}{8}u^{8/3}.
Portanto
\frac{1}{3}\int \bigl(u^{-1/3}-u^{5/3}\bigr)\,du =\frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}u^{2/3}-\frac{3}{8}u^{8/3}\right).

Passo 4

Simplificar os coeficientes:
\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{2}u^{2/3}=\frac{1}{2}u^{2/3},\qquad \frac{1}{3}\cdot\frac{3}{8}u^{8/3}=\frac{1}{8}u^{8/3}.
Então a primitiva em u fica
\frac{1}{2}u^{2/3}-\frac{1}{8}u^{8/3}+C.
Por fim voltamos à variável x usando u=\operatorname{sen}(3x):
\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2/3}(3x)-\frac{1}{8}\operatorname{sen}^{8/3}(3x)+C.

Resposta

\frac{1}{2}\operatorname{sen}^{2/3}(3x)-\frac{1}{8}\operatorname{sen}^{8/3}(3x)+C

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