Encontre as integrais indefinidas:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: calcular a integral indefinida
Informações relevantes fornecidas:
- A função integranda é uma combinação de potências de seno e cosseno com argumento
. - A operação pedida é uma integral indefinida (ou seja, devemos obter uma primitiva mais uma constante
).
Passo 2
Ideia para simplificar a integral (ferramenta padrão para casos com potências de seno e cosseno): escrever
como
e usar a identidade trigonométrica
Assim a integranda fica
Agora fazemos a substituição natural para aproveitar
: defina
Derivando, obtemos
Substituindo na integral:
Colocando o fator
fora:
Passo 3
Simplificar a expressão dentro da integral usando as regras de expoentes:
Então a integral é
Integramos termo a termo usando a regra da potência: para
,
Aplicando:
- Para
: , então
- Para
: , então
Portanto
Passo 4
Simplificar os coeficientes:
Então a primitiva em
fica
Por fim voltamos à variável
usando
: