A Lei dos Gases Ideais afirma que, para uma dada quantidade de gás, a pressão p, o volume V e a temperatura absoluta T são ligados pela equação p V=n R T, onde n é o número de moléculas de gás na amostra e R é uma constante. Mostrar que:
partial ppartial V partial Vpartial T partial Tpartial p=-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão §, volume (V) e temperatura absoluta (T) pela equação:
p V = n R T
Aqui, partial ppartial V cdot partial Vpartial T cdot partial Tpartial p = -1 é o número de moléculas de gás e é uma constante. Nosso objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como elas estão relacionadas nessa equação.

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação dos gases ideais para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar p = n R TV :
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais que aparecem na expressão que queremos provar.

Passo 3

Vamos calcular partial ppartial V = -n R TV^2 . Como , tratamos e como constantes, e também é constante ao derivar em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos V = n R Tp . Vamos rearranjar a equação para isolar partial Vpartial T = n Rp :
Derivando em relação a , tratando , e como constantes:

Passo 5

Por último, vamos calcular T = p Vn R . Usando novamente a equação partial Tpartial p = Vn R , podemos isolar :
Derivando em relação a , com , e constantes:

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as três derivadas parciais que calculamos:
partial ppartial V cdot partial Vpartial T cdot partial Tpartial p = (-n R TV^2) cdot (n Rp) cdot (Vn R)
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.

Passo 7

Primeiro, multiplique os numeradores e denominadores:
= -n R T cdot n R cdot VV^2 cdot p cdot n R
Agora, cancelamos termos que aparecem no numerador e no denominador. O = -TV cdot Vp = -Tp no numerador e denominador se cancelam, e Tp = Vn R em cima com - Vn R cdot n RV = -1 embaixo deixa no denominador:
Mas, da equação dos gases ideais, sabemos que , então:
Substituindo de volta:

Resposta

Portanto, mostramos que:
partial ppartial V cdot partial Vpartial T cdot partial Tpartial p = -1

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