A Lei dos Gases Ideais afirma que, para uma dada quantidade de gás, a pressão
, o volume
e a temperatura absoluta
são ligados pela equação
, onde
é o número de moléculas de gás na amostra e
é uma constante. Mostrar que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre a Lei dos Gases Ideais, que relaciona pressão §, volume (V) e temperatura absoluta (T) pela equação:
Aqui,
é o número de moléculas de gás e
é uma constante. Nosso objetivo é mostrar que:
Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e como elas estão relacionadas nessa equação.
Passo 2
Primeiro, precisamos rearranjar a equação dos gases ideais para expressar uma das variáveis em termos das outras. Vamos isolar
:
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais que aparecem na expressão que queremos provar.
Passo 3
Vamos calcular
. Como
, tratamos
e
como constantes, e
também é constante ao derivar em relação a
:
Passo 4
Agora, calculamos
. Vamos rearranjar a equação para isolar
:
Derivando
em relação a
, tratando
,
e
como constantes:
Passo 5
Por último, vamos calcular
. Usando novamente a equação
, podemos isolar
:
Derivando
em relação a
, com
,
e
constantes:
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as três derivadas parciais que calculamos:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo.
Passo 7
Primeiro, multiplique os numeradores e denominadores:
Agora, cancelamos termos que aparecem no numerador e no denominador. O
no numerador e denominador se cancelam, e
em cima com
embaixo deixa
no denominador:
Mas, da equação dos gases ideais, sabemos que
, então:
Substituindo de volta:
Resposta
Portanto, mostramos que: