Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada em forma de cilindro reto é nulo quando o eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico uniforme. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A superfície é a superfície fechada de um cilindro reto (tem duas tampas circulares paralelas e uma superfície lateral).
  • O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico uniforme.
  • O campo elétrico é uniforme (mesma direção e magnitude em todo espaço).
  • Precisamos usar a forma integral do fluxo do campo elétrico (ou seja, calcular o fluxo através da superfície fechada).

Passo 2

Definição do fluxo e convenções que usaremos. O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada S é dado por
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área elementar: sua direção é a normal à superfície apontando para fora do volume fechado e seu módulo é a área infinitesimal. Aqui \mathbf{E} é o vetor campo elétrico. A operação \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} significa que só conta a componente de \mathbf{E} perpendicular à superfície (na direção da normal).

Passo 3

Escolha de sistema de coordenadas e notação para facilitar o raciocínio. Como o eixo do cilindro é paralelo ao campo, podemos alinhar o eixo z do sistema de coordenadas com a direção do campo. Logo podemos escrever o campo uniforme como
\mathbf{E}=E\,\hat{\mathbf{z}},
onde E é a magnitude constante do campo (um número positivo) e \hat{\mathbf{z}} é o versor na direção z. Denotemos o raio do cilindro por R e a altura por h. A superfície fechada do cilindro é a união de três partes: a tampa superior S_{\text{top}} (um disco), a tampa inferior S_{\text{bot}} (um disco) e a superfície lateral S_{\text{lat}}.

Passo 4

Escrevemos o fluxo total como soma dos fluxos pelas três partes:
\Phi=\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} =\int_{S_{\text{top}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} +\int_{S_{\text{bot}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} +\int_{S_{\text{lat}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}.
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas três integrais e somá-las.

Passo 5

Avaliação do fluxo através da superfície lateral S_{\text{lat}}. Na superfície lateral do cilindro, a normal é radial (perpendicular ao eixo z), ou seja, para cada ponto da lateral a normal \hat{\mathbf{n}}_{\text{lat}} é ortogonal a \hat{\mathbf{z}}. Assim, para qualquer elemento da lateral
d\mathbf{A}= \hat{\mathbf{n}}_{\text{lat}}\, dA_{\text{lat}}
temos
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{n}}_{\text{lat}}\,dA_{\text{lat}}=E\cdot 0\cdot dA_{\text{lat}}=0,
porque \hat{\mathbf{z}} é perpendicular a \hat{\mathbf{n}}_{\text{lat}}. Portanto a integral sobre a lateral é nula:
\int_{S_{\text{lat}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=0.
Intuição: o campo “passeia” paralelo ao eixo do cilindro e não atravessa a lateral.

Passo 6

Avaliação do fluxo através da tampa superior S_{\text{top}}. A tampa superior é um disco de raio R com normal apontando para fora do volume; supondo que o cilindro esteja orientado com a tampa superior para +z, a normal é \hat{\mathbf{z}}. Logo, para a tampa superior cada elemento de área vetorial é
d\mathbf{A}= \hat{\mathbf{z}}\, dA,
e o produto escalar com o campo é
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,\hat{\mathbf{z}}\cdot\hat{\mathbf{z}}\,dA=E\,dA.
Integrando sobre o disco de área A=\pi R^{2} temos
\int_{S_{\text{top}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \int_{S_{\text{top}}} E\, dA = E \cdot A = E\pi R^{2}.

Passo 7

Avaliação do fluxo através da tampa inferior S_{\text{bot}}. A tampa inferior é outro disco de raio R, mas sua normal com orientação para fora do volume fechado aponta para -\hat{\mathbf{z}}. Para essa tampa cada elemento de área vetorial é
d\mathbf{A}= -\hat{\mathbf{z}}\, dA,
logo
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E\,\hat{\mathbf{z}}\cdot(-\hat{\mathbf{z}})\,dA = -E\,dA.
Integrando sobre a área do disco:
\int_{S_{\text{bot}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}= \int_{S_{\text{bot}}} -E\, dA = -E\cdot A = -E\pi R^{2}.

Passo 8

Somando as contribuições das três partes conforme o Passo 4:
\Phi=\int_{S_{\text{top}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} +\int_{S_{\text{bot}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} +\int_{S_{\text{lat}}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E\pi R^{2} + (-E\pi R^{2}) + 0 = 0.
Portanto o fluxo total através da superfície fechada do cilindro é zero.

Passo 9

Comentário extra (uma outra maneira de ver o resultado, útil para prova). Pela Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss no vácuo sem cargas), para um campo uniforme \mathbf{E} tem-se \nabla\cdot\mathbf{E}=0. O teorema diz
\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\int_{V}(\nabla\cdot\mathbf{E})\,dV.
Como \nabla\cdot\mathbf{E}=0 em todo o volume V do cilindro, o integrando é zero e então o fluxo é zero. Essa é uma forma elegante e rápida de justificar o resultado sem calcular integrais de superfície.

Resposta

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