Uma superfície fechada, na forma de um cilindro reto, encontra-se imerso em um campo elétrico uniforme. O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico. Usando a forma integral para o fluxo do campo elétrico, mostre que o fluxo do campo elétrico através desta superfície é nulo. (sugestão: a área total da superfície cilíndrica pode ser dividida em três partes, as duas tampas e a área lateral do cilindro).
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que o fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada em forma de cilindro reto é nulo quando o eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico uniforme. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A superfície é a superfície fechada de um cilindro reto (tem duas tampas circulares paralelas e uma superfície lateral).
- O eixo do cilindro é paralelo ao campo elétrico uniforme.
- O campo elétrico é uniforme (mesma direção e magnitude em todo espaço).
- Precisamos usar a forma integral do fluxo do campo elétrico (ou seja, calcular o fluxo através da superfície fechada).
Passo 2
Definição do fluxo e convenções que usaremos. O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada
é dado por
onde
é o vetor área elementar: sua direção é a normal à superfície apontando para fora do volume fechado e seu módulo é a área infinitesimal. Aqui
é o vetor campo elétrico. A operação
significa que só conta a componente de
perpendicular à superfície (na direção da normal).
Passo 3
Escolha de sistema de coordenadas e notação para facilitar o raciocínio. Como o eixo do cilindro é paralelo ao campo, podemos alinhar o eixo
do sistema de coordenadas com a direção do campo. Logo podemos escrever o campo uniforme como
onde
é a magnitude constante do campo (um número positivo) e
é o versor na direção
. Denotemos o raio do cilindro por
e a altura por
. A superfície fechada do cilindro é a união de três partes: a tampa superior
(um disco), a tampa inferior
(um disco) e a superfície lateral
.
Passo 4
Escrevemos o fluxo total como soma dos fluxos pelas três partes:
Nosso objetivo é calcular cada uma dessas três integrais e somá-las.
Passo 5
Avaliação do fluxo através da superfície lateral
. Na superfície lateral do cilindro, a normal é radial (perpendicular ao eixo
), ou seja, para cada ponto da lateral a normal
é ortogonal a
. Assim, para qualquer elemento da lateral
temos
porque
é perpendicular a
. Portanto a integral sobre a lateral é nula:
Intuição: o campo “passeia” paralelo ao eixo do cilindro e não atravessa a lateral.
Passo 6
Avaliação do fluxo através da tampa superior
. A tampa superior é um disco de raio
com normal apontando para fora do volume; supondo que o cilindro esteja orientado com a tampa superior para
, a normal é
. Logo, para a tampa superior cada elemento de área vetorial é
e o produto escalar com o campo é
Integrando sobre o disco de área
temos
Passo 7
Avaliação do fluxo através da tampa inferior
. A tampa inferior é outro disco de raio
, mas sua normal com orientação para fora do volume fechado aponta para
. Para essa tampa cada elemento de área vetorial é
logo
Integrando sobre a área do disco:
Passo 8
Somando as contribuições das três partes conforme o Passo 4:
Portanto o fluxo total através da superfície fechada do cilindro é zero.
Passo 9
Comentário extra (uma outra maneira de ver o resultado, útil para prova). Pela Teorema da Divergência (ou Lei de Gauss no vácuo sem cargas), para um campo uniforme
tem-se
. O teorema diz
Como
em todo o volume
do cilindro, o integrando é zero e então o fluxo é zero. Essa é uma forma elegante e rápida de justificar o resultado sem calcular integrais de superfície.
Resposta
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