3.5 O resultado anterior é um caso particular da lei de Gauss. Enuncie a lei de Gauss matematicamente e explique detalhadamente a expressão.
Passo 1
O enunciado diz que o resultado anterior (fluxo de
através de uma superfície esférica envolvendo uma carga pontual) é um caso particular da lei de Gauss. O conteúdo da matéria é eletrostática, mais especificamente o conceito de fluxo do campo elétrico e a relação entre esse fluxo e a carga elétrica interna. Para resolver, vamos precisar do conceito de integral de superfície fechada e dos termos envolvidos na expressão de Gauss.
Passo 2
A forma integral da lei de Gauss em eletrostática é
onde a integral de superfície fechada aparece do lado esquerdo e a carga total interna está do lado direito.
Passo 3
Vamos explicar cada termo da equação anterior:
• indica uma integral de superfície sobre uma superfície fechada
, ou seja, o limite de uma região tridimensional.
• é o vetor campo elétrico em cada ponto da superfície.
• é o vetor área infinitesimal da superfície, cuja direção é normal à superfície e sentido apontando para fora do volume.
• O produto escalar mede o fluxo de
através daquele elemento de área.
• é a soma de todas as cargas elétricas contidas no interior da superfície fechada
.
• é a permissividade elétrica do vácuo, constante que relaciona unidades de carga elétrica e campo.
•
•
•
• O produto escalar
•
•
Passo 4
Há também a forma diferencial da lei de Gauss, que se obtém aplicando o teorema da divergência (Gauss–Ostrogradski) ao lado esquerdo:
onde
é a densidade volumétrica de carga.
Na forma diferencial, é a divergência do campo elétrico em um ponto, isto é, a “taxa de saída” de linhas de campo por unidade de volume. A igualdade mostra que essa divergência é proporcional à densidade de carga
naquele ponto, com constante de proporcionalidade
.
Na forma diferencial,
Resposta
A lei de Gauss em forma integral é
e, em forma diferencial,