3.5 O resultado anterior é um caso particular da lei de Gauss. Enuncie a lei de Gauss matematicamente e explique detalhadamente a expressão.

Passo 1

O enunciado diz que o resultado anterior (fluxo de \mathbf{E} através de uma superfície esférica envolvendo uma carga pontual) é um caso particular da lei de Gauss. O conteúdo da matéria é eletrostática, mais especificamente o conceito de fluxo do campo elétrico e a relação entre esse fluxo e a carga elétrica interna. Para resolver, vamos precisar do conceito de integral de superfície fechada e dos termos envolvidos na expressão de Gauss.

Passo 2

A forma integral da lei de Gauss em eletrostática é
\oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} \;=\;\frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}
onde a integral de superfície fechada aparece do lado esquerdo e a carga total interna está do lado direito.

Passo 3

Vamos explicar cada termo da equação anterior:
\displaystyle \oint_{S} indica uma integral de superfície sobre uma superfície fechada S, ou seja, o limite de uma região tridimensional.
\mathbf{E} é o vetor campo elétrico em cada ponto da superfície.
d\mathbf{A} é o vetor área infinitesimal da superfície, cuja direção é normal à superfície e sentido apontando para fora do volume.
• O produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} mede o fluxo de \mathbf{E} através daquele elemento de área.
Q_{\mathrm{int}} é a soma de todas as cargas elétricas contidas no interior da superfície fechada S.
\varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo, constante que relaciona unidades de carga elétrica e campo.

Passo 4

Há também a forma diferencial da lei de Gauss, que se obtém aplicando o teorema da divergência (Gauss–Ostrogradski) ao lado esquerdo:
\nabla\cdot \mathbf{E} \;=\;\frac{\rho}{\varepsilon_{0}}
onde \rho é a densidade volumétrica de carga.
Na forma diferencial, \nabla\cdot \mathbf{E} é a divergência do campo elétrico em um ponto, isto é, a “taxa de saída” de linhas de campo por unidade de volume. A igualdade mostra que essa divergência é proporcional à densidade de carga \rho naquele ponto, com constante de proporcionalidade 1/\varepsilon_{0}.

Resposta

A lei de Gauss em forma integral é
\boxed{\displaystyle \oint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{int}}}{\varepsilon_{0}}}
e, em forma diferencial,
\boxed{\nabla\cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}}\,.

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