(Lei de Gauss - similar) Uma folha infinita com densidade de carga superficial \sigma= -3,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. Determine E em cada lado (módulo e sentido).

Passo 1

O enunciado dá uma folha infinita (plano) com densidade de carga superficial \sigma = -3{,}0\\ \mu\mathrm{C/m^{2}} e pede o campo elétrico E em cada lado (módulo e sentido).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\sigma = -3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}.
O que precisamos fornecer: o módulo de \vec{E} em cada lado da folha e a direção (sentido) do campo em cada lado.

Passo 2

Escolho usar a Lei de Gauss porque a folha é infinita e a situação tem simetria plana: o campo elétrico deve ser perpendicular à folha e ter o mesmo módulo em qualquer ponto a uma mesma distância do plano. Vou aplicar um argumento de Gauss simples (caixa cilíndrica “pillbox”) que é o método mais direto e rápido para esse tipo de problema. Aqui explico o que é a Lei de Gauss e por que ela funciona:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total dentro da superfície dividida por \varepsilon_0:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Onde \vec{E} é o campo elétrico (unidade \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}), d\vec{A} é o vetor área (módulo área com direção normal à superfície), Q_{\text{enc}} é a carga dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, \varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}. A ideia é escolher uma superfície fechada simples de forma que possamos calcular facilmente o fluxo e a carga interna.

Passo 3

Construção do elemento de Gauss e cálculo do fluxo. Considere a folha ocupando o plano z=0. Tome uma caixa cilíndrica (pillbox) com faces planas paralelas à folha, uma face em z=+h e outra em z=-h, de área A cada. Faça h arbitrariamente pequeno, de modo que a folha esteja entre as duas faces e toda a carga da folha contida pela área A esteja dentro da caixa. Pelo raciocínio de simetria o campo é perpendicular à folha e uniforme nas faces planas; nas faces laterais (paralelas ao plano do plano) o campo é tangencial e o fluxo lateral é zero.
Fluxo total através da superfície fechada: contribuição das duas faces planas (superior e inferior). Se o campo nas duas faces tem módulo E e é perpendicular às faces, o fluxo é
\Phi = E\cdot A + E\cdot A = 2EA.
Carga encerrada pela caixa: a folha tem densidade superficial \sigma e a área interceptada é A, logo
Q_{\text{enc}} = \sigma A.
Aplicando a Lei de Gauss:
2EA = \frac{\sigma A}{\varepsilon_0}.
Cancelando A (que é diferente de zero) obtemos a expressão para o módulo do campo:
E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.
Explicação do resultado: essa fórmula significa que o campo tem o mesmo módulo em ambos os lados do plano; o sinal de \sigma determina o sentido do vetor campo (se \sigma>0 o campo aponta para fora do plano em ambos os lados; se \sigma<0 aponta para o plano em ambos os lados).

Passo 4

Interpretação do sinal e magnitude. Como \sigma é negativa ( \sigma = -3{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^{2}}), o valor da expressão acima será negativo se mantivermos o sinal — isso indica que o vetor campo aponta no sentido oposto ao vetor unitário escolhido como “para fora” do plano. Para obter o módulo usamos |\sigma|:
|\vec{E}| = \frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}.
Agora calculamos numericamente usando \varepsilon_0 \approx 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}:
|\vec{E}| = \frac{3{,}0\times10^{-6}}{2\times 8{,}85\times10^{-12}} = \frac{3{,}0}{17{,}7}\times10^{6} \approx 1{,}70\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Aqui fiz a divisão passo a passo: primeiro juntei os fatores de potências de 10 (10^{-6}/10^{-12}=10^{6}) e depois dividi os coeficientes 3{,}0/(2\cdot8{,}85)=3{,}0/17{,}7\approx0{,}1695, que dá 0{,}1695\times10^{6}=1{,}695\times10^{5}, arredondando 1{,}70\times10^{5}.

Passo 5

Determinação do sentido em cada lado (explicando com um eixo). Colocando o plano no xy-plano em z=0, tomemos \hat{z} como o vetor unitário apontando para z>0. Para \sigma<0 o campo aponta em direção à folha em ambos os lados:
  • Para z>0 o campo aponta no sentido -\hat{z} (ou seja, para baixo, em direção ao plano).
  • Para z<0 o campo aponta no sentido +\hat{z} (ou seja, para cima, em direção ao plano).
    Em forma vetorial, para z>0:
\vec{E}(z>0) = -\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\,\hat{z}
e para z<0:
\vec{E}(z<0) = +\frac{|\sigma|}{2\varepsilon_0}\,\hat{z}.
Observação física importante: o módulo do campo é independente da distância ao plano — característica de uma folha infinita.

Resposta

Para z>0: \vec{E} = -1{,}7\times10^{5}\\ \hat{z}\\ \mathrm{N/C}.\n
Para z<0: \vec{E} = +1{,}7\times10^{5}\\ \hat{z}\\ \mathrm{N/C}.

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