(Lei de Gauss - similar) Uma folha infinita com densidade de carga superficial
. Determine
em cada lado (módulo e sentido).
Passo 1
O enunciado dá uma folha infinita (plano) com densidade de carga superficial
e pede o campo elétrico
em cada lado (módulo e sentido).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O que precisamos fornecer: o módulo de
em cada lado da folha e a direção (sentido) do campo em cada lado.
Passo 2
Escolho usar a Lei de Gauss porque a folha é infinita e a situação tem simetria plana: o campo elétrico deve ser perpendicular à folha e ter o mesmo módulo em qualquer ponto a uma mesma distância do plano. Vou aplicar um argumento de Gauss simples (caixa cilíndrica “pillbox”) que é o método mais direto e rápido para esse tipo de problema. Aqui explico o que é a Lei de Gauss e por que ela funciona:
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total dentro da superfície dividida por :
A Lei de Gauss afirma que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga total dentro da superfície dividida por
Onde
é o campo elétrico (unidade
ou
),
é o vetor área (módulo área com direção normal à superfície),
é a carga dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo,
. A ideia é escolher uma superfície fechada simples de forma que possamos calcular facilmente o fluxo e a carga interna.
Passo 3
Construção do elemento de Gauss e cálculo do fluxo. Considere a folha ocupando o plano
. Tome uma caixa cilíndrica (pillbox) com faces planas paralelas à folha, uma face em
e outra em
, de área
cada. Faça
arbitrariamente pequeno, de modo que a folha esteja entre as duas faces e toda a carga da folha contida pela área
esteja dentro da caixa. Pelo raciocínio de simetria o campo é perpendicular à folha e uniforme nas faces planas; nas faces laterais (paralelas ao plano do plano) o campo é tangencial e o fluxo lateral é zero.
Fluxo total através da superfície fechada: contribuição das duas faces planas (superior e inferior). Se o campo nas duas faces tem módulo
e é perpendicular às faces, o fluxo é
Carga encerrada pela caixa: a folha tem densidade superficial
e a área interceptada é
, logo
Aplicando a Lei de Gauss:
Cancelando
(que é diferente de zero) obtemos a expressão para o módulo do campo:
Explicação do resultado: essa fórmula significa que o campo tem o mesmo módulo em ambos os lados do plano; o sinal de
determina o sentido do vetor campo (se
o campo aponta para fora do plano em ambos os lados; se
aponta para o plano em ambos os lados).
Passo 4
Interpretação do sinal e magnitude. Como
é negativa (
), o valor da expressão acima será negativo se mantivermos o sinal — isso indica que o vetor campo aponta no sentido oposto ao vetor unitário escolhido como “para fora” do plano. Para obter o módulo usamos
:
Agora calculamos numericamente usando
:
Aqui fiz a divisão passo a passo: primeiro juntei os fatores de potências de 10
e depois dividi os coeficientes
, que dá
, arredondando
.
Passo 5
Determinação do sentido em cada lado (explicando com um eixo). Colocando o plano no
-plano em
, tomemos
como o vetor unitário apontando para
. Para
o campo aponta em direção à folha em ambos os lados:
- Para
o campo aponta no sentido (ou seja, para baixo, em direção ao plano). - Para
o campo aponta no sentido (ou seja, para cima, em direção ao plano).
Em forma vetorial, para:
e para
:
Observação física importante: o módulo do campo é independente da distância ao plano — característica de uma folha infinita.
Resposta
Para
:
.\n
Para :
.
Para