(Campo elétrico - similar) Cargas +q nos pontos (0, \pm a). Ache o campo em (a, 0), em função de k, q, a, e indique a direção.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas iguais +q localizadas nos pontos (0,a) e (0,-a). Pede-se o campo elétrico no ponto (a,0) expresso em função de k, q e a, e que se indique a direção do campo.
Informações relevantes do enunciado:
  • Cargas: +q em (0,a) e +q em (0,-a).
  • Ponto onde queremos o campo: (a,0).
  • Parâmetros que podem aparecer na resposta: k, q, a.

Passo 2

Vamos usar a lei de Coulomb para o campo elétrico de uma carga pontual. A fórmula é:
\vec{E} = k\,\frac{q}{r^{2}}\,\hat{r},
onde:
  • k é a constante 1/(4\pi\varepsilon_0) (o enunciado já dá k),
  • q é a carga fonte,
  • r é a distância entre a carga e o ponto onde calculamos o campo, isto é r=\lVert\vec{r}\rVert,
  • \hat{r} é o versor (vetor unitário) que aponta da carga para o ponto onde avaliamos o campo.
    Comentário didático: a fórmula diz que o campo tem módulo kq/r^2 e direção ao longo da reta que liga a carga ao ponto; para cargas positivas o campo aponta para fora da carga (do centro da carga para o ponto).

Passo 3

Calculemos a contribuição do campo da carga em (0,a). Primeiro o vetor que vai da carga até o ponto (a,0) é
\vec{r}_1 = (a-0,\,0-a) = (a,\,-a).
O módulo desse vetor é
r_1=\lVert\vec{r}_1\rVert=\sqrt{a^{2}+(-a)^{2}}=\sqrt{2a^{2}}=\sqrt{2}\,a.
O versor correspondente é
\hat{r}_1=\frac{\vec{r}_1}{r_1}=\frac{(a,-a)}{\sqrt{2}\,a}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 4

O módulo do campo gerado por essa carga em (a,0) é
E_1 = k\,\frac{q}{r_1^{2}} = k\,\frac{q}{(\sqrt{2}\,a)^{2}} = k\,\frac{q}{2a^{2}}.
Logo o vetor campo devido à carga em (0,a) é
\vec{E}_1 = E_1\,\hat{r}_1 = \frac{kq}{2a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}},\; -\frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 5

Agora a contribuição da carga em (0,-a). O vetor da carga até o ponto (a,0) é
\vec{r}_2=(a-0,\,0-(-a))=(a,\,a).
O módulo é o mesmo r_2=\sqrt{2}\,a e o versor é
\hat{r}_2=\frac{(a,a)}{\sqrt{2}\,a}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right).
O módulo do campo dessa carga também é E_2 = kq/(2a^{2}). Portanto
\vec{E}_2 = E_2\,\hat{r}_2 = \frac{kq}{2a^{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\;\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \left(\frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}},\; \frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\right).

Passo 6

Somamos as contribuições vetoriais \vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2. Somando componente a componente:
  • Componente x:
E_x = \frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 2\cdot\frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{kq}{a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}.
  • Componente y:
E_y = -\frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{kq}{2a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = 0.
Observação didática: por simetria os componentes verticais se cancelam porque as cargas estão simetricamente colocadas em relação ao eixo x, e os componentes horizontais somam.

Passo 7

Simplificando E_x:
E_x = \frac{kq}{a^{2}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}.
Como E_y=0, o campo resultante é puramente na direção x positiva. Em forma vetorial:
\vec{E}(a,0)=\frac{kq}{\sqrt{2}\,a^{2}}\,\hat{\mathbf{i}},
onde \hat{\mathbf{i}} é o versor na direção positiva do eixo x.

Passo 8

Interpretação física e dica para prova: o resultado mostra que, devido à simetria vertical, os componentes verticais se anulam e resta apenas um campo horizontal para a direita. Em problemas similares, procurar e explorar simetrias para reduzir contas é a melhor estratégia — calcule sempre a contribuição de uma carga, decomponha em componentes e some vetorialmente.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(a,0)=\frac{k\,q}{\sqrt{2}\,a^{2}}\;\hat{\mathbf{i}}
Direção: \hat{\mathbf{i}} (eixo x positivo — para a direita)

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