(Potencial elétrico) Duas cargas
em
e
em
com
. Calcule
no ponto médio
e discuta
em
no eixo
. Resposta:
. Em
. Para
.
Passo 1
O enunciado dá duas cargas pontuais e pede o potencial elétrico em dois pontos. Dados e perguntas claros:
- Cargas:
- Posições:
com - Pontos onde queremos
: -
: ponto médio entre as cargas (ou seja, em ). -
: ponto sobre o eixo com coordenada (distância a partir de para a direita).
-
- O que pedir: calcular
em e discutir em (escrever expressão e analisar limite ).
Passo 2
Fórmula básica e princípio de superposição — a “caixa de ferramentas”:
- Potencial elétrico devido a uma carga pontual
num ponto a distância é onde Explicando cada símbolo: é o potencial em volts, é a carga em coulombs, é a distância (m) entre a carga e o ponto onde calculamos , e é a constante eletrostática. - Princípio da superposição: o potencial total causado por várias cargas é a soma algébrica dos potenciais de cada carga. Para duas cargas,
onde e são as distâncias do ponto às cargas e , respectivamente. - Observação conceitual importante (para usar depois): potencial é escalar (somamos sinais), por isso cargas de sinais opostos podem cancelar-se no potencial; isto não implica automaticamente que o campo elétrico seja zero no mesmo ponto (o campo é vetor e dado por
).
Passo 3
Aplicando a fórmula em
(ponto médio):
- Distâncias do ponto médio
às cargas: - Pelo princípio da superposição,
- Como
(valores iguais em módulo e sinais opostos), o somatório interno é zero: - Logo
- Interpretação física curta e motivadora: as contribuições escalares de potencial das duas cargas se cancelam exatamente no ponto médio porque as distâncias são iguais e as cargas têm sinais opostos.
Passo 4
Comentário útil — potencial zero não é o mesmo que campo elétrico nulo (motivação para saber a diferença):
- Calculemos o campo em
só para fixar a intuição. Campo devido a uma carga pontual em módulo é e a direção depende do sinal da carga. - No ponto médio, as direções dos campos de
e somam (ambos apontam para a direita, ver explicação abaixo), então os módulos somam: - Distância
- Módulo do campo de cada carga:
Vamos calcular passo a passo: . Dividindo por dá . Como há duas cargas com campos na mesma direção, o campo total é o dobro: (Nota: se recomputarmos com maior precisão, temos dependendo do passo de arredondamento; o importante aqui é ver que é grande e não nulo.)
- Distância
- Conclusão: embora
, . Isso reforça que potencial escalar zero não garante ausência de campo vetorial.
Passo 5
Expressão de
em
(ponto em
):
- Distâncias a partir das cargas:
(Usei que o enunciado define
em
; a distância de
em
até
é exatamente
.)
- Pelo princípio da superposição,
Essa é a expressão exata para em .
Passo 6
Análise do limite
(interpretação física e expansão assintótica):
- Quando
é muito maior que , podemos usar a expansão em série (expansão de em potências de ): - Substituindo na expressão de
, - No nosso caso
, então o termo de ordem some e o termo dominante para é o seguinte: ou seja, o potencial decai como (com sinal determinado por ). Isso é a assinatura de um dipolo elétrico: como a soma das cargas é zero, o termo monopolar desaparece e sobra o comportamento dipolar de ordem . - Conclusão prática: para
o potencial em é aproximadamente zero ao primeiro termo monopolar (porque ), mas o valor real decai como (não é exatamente zero, a não ser que ). Portanto dizer simplesmente está correto no sentido de que o termo principal é nulo; uma aproximação mais refinada é .
Passo 7
Resumo interpretativo e motivador:
- No ponto médio
o potencial cancela exatamente porque as contribuições escalares das duas cargas são iguais em módulo e de sinais opostos. - Em
a expressão exata é . Para o termo monopolar desaparece (já que ) e o potencial remanescente é de ordem , comportamento típico de um dipolo. Isso justifica a aproximação se você está apenas olhando o primeiro termo em , mas atenção: o potencial real tende a zero com , porém com a lei .