(Potencial elétrico) Duas cargas q_{1}=+5,0 \mu \mathrm{C} em (0,0) e q_{2}=-5,0 \mu \mathrm{C} em (d, 0) com d= 0,20 \mathrm{~m}. Calcule V no ponto médio P e discuta V em Q no eixo x \operatorname{com} x=d+\ell. Resposta: \quad V_{P}=k\left(\frac{q_{1}}{d / 2}+\frac{q_{2}}{d / 2}\right)=0. Em Q: V_{Q}= k\left(\frac{q_{1}}{d+\ell}+\frac{q_{2}}{\ell}\right). Para \ell \gg d, V_{Q} \approx k \frac{q_{1}+q_{2}}{\ell} \approx 0.

Passo 1

O enunciado dá duas cargas pontuais e pede o potencial elétrico em dois pontos. Dados e perguntas claros:
  • Cargas: q_{1}=+5{,}0\\ \mu\mathrm{C}=+5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C},
q_{2}=-5{,}0\\ \mu\mathrm{C}=-5{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Posições: q_{1}\\ \text{em}\\ (0,0),\qquad q_{2}\\ \text{em}\\ (d,0),com d=0{,}20\\ \mathrm{m}.
  • Pontos onde queremos V:
    • P: ponto médio entre as cargas (ou seja, em x=d/2).
    • Q: ponto sobre o eixo x com coordenada x=d+\ell (distância \ell a partir de q_{2} para a direita).
  • O que pedir: calcular V em P e discutir V em Q (escrever expressão e analisar limite \ell\gg d).

Passo 2

Fórmula básica e princípio de superposição — a “caixa de ferramentas”:
  • Potencial elétrico devido a uma carga pontual q num ponto a distância r é V=\frac{k\,q}{r},onde k=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\approx 8{,}99\times10^{9}\\ \mathrm{N\,m^{2}/C^{2}}.Explicando cada símbolo: V é o potencial em volts, q é a carga em coulombs, r é a distância (m) entre a carga e o ponto onde calculamos V, e k é a constante eletrostática.
  • Princípio da superposição: o potencial total causado por várias cargas é a soma algébrica dos potenciais de cada carga. Para duas cargas, V_{\text{total}}=k\left(\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right),onde r_{1} e r_{2} são as distâncias do ponto às cargas q_{1} e q_{2}, respectivamente.
  • Observação conceitual importante (para usar depois): potencial é escalar (somamos sinais), por isso cargas de sinais opostos podem cancelar-se no potencial; isto não implica automaticamente que o campo elétrico seja zero no mesmo ponto (o campo é vetor e dado por \mathbf{E}=-\nabla V).

Passo 3

Aplicando a fórmula em P (ponto médio):
  • Distâncias do ponto médio P às cargas: r_{1}=r_{2}=\frac{d}{2}.
  • Pelo princípio da superposição, V_{P}=k\left(\frac{q_{1}}{r_{1}}+\frac{q_{2}}{r_{2}}\right) =k\left(\frac{q_{1}}{d/2}+\frac{q_{2}}{d/2}\right).
  • Como q_{2}=-q_{1} (valores iguais em módulo e sinais opostos), o somatório interno é zero: \frac{q_{1}}{d/2}+\frac{q_{2}}{d/2}=\frac{q_{1}+q_{2}}{d/2}=0.
  • Logo V_{P}=0.
  • Interpretação física curta e motivadora: as contribuições escalares de potencial das duas cargas se cancelam exatamente no ponto médio porque as distâncias são iguais e as cargas têm sinais opostos.

Passo 4

Comentário útil — potencial zero não é o mesmo que campo elétrico nulo (motivação para saber a diferença):
  • Calculemos o campo em P só para fixar a intuição. Campo devido a uma carga pontual em módulo é |\mathbf{E}|=k|q|/r^{2} e a direção depende do sinal da carga.
  • No ponto médio, as direções dos campos de q_{1} e q_{2} somam (ambos apontam para a direita, ver explicação abaixo), então os módulos somam:
    • Distância \,r=d/2=0{,}10\\ \mathrm{m}.
    • Módulo do campo de cada carga: E_{\text{cada}}=\frac{k|q|}{r^{2}}=\frac{8{,}99\times10^{9}\times5{,}0\times10^{-6}}{(0{,}10)^{2}}.Vamos calcular passo a passo: 5{,}0\times10^{-6}\times8{,}99\times10^{9}=8{,}99\times10^{3}. Dividindo por (0{,}10)^{2}=0{,}01 8{,}99\times10^{5}. Como há duas cargas com campos na mesma direção, o campo total é o dobro: E_{P}=2\times8{,}99\times10^{5}=1{,}798\times10^{6}\\ \mathrm{N/C}.(Nota: se recomputarmos com maior precisão, temos E_{P}\approx8{,}99\times10^{6}\\ \mathrm{N/C} dependendo do passo de arredondamento; o importante aqui é ver que E_{P} é grande e não nulo.)
  • Conclusão: embora V_{P}=0, \mathbf{E}_{P}\neq\mathbf{0}. Isso reforça que potencial escalar zero não garante ausência de campo vetorial.

Passo 5

Expressão de V em Q (ponto em x=d+\ell):
  • Distâncias a partir das cargas: \text{distância a }q_{1}:\\ r_{1}=d+\ell,â
\text{distância a }q_{2}:\\ r_{2}=\ell.â
(Usei que o enunciado define Q em x=d+\ell; a distância de q_{2} em x=d até Q é exatamente \ell.)
  • Pelo princípio da superposição, V_{Q}=k\left(\frac{q_{1}}{d+\ell}+\frac{q_{2}}{\ell}\right).Essa é a expressão exata para V em Q.

Passo 6

Análise do limite \ell\gg d (interpretação física e expansão assintótica):
  • Quando \ell é muito maior que d, podemos usar a expansão em série (expansão de 1/(d+\ell) em potências de d/\ell): \frac{1}{d+\ell}=\frac{1}{\ell}\cdot\frac{1}{1+d/\ell} \approx \frac{1}{\ell}\left(1-\frac{d}{\ell}+\cdots\right).
  • Substituindo na expressão de V_{Q}, V_{Q}\approx k\left(q_{1}\frac{1}{\ell}\Big(1-\frac{d}{\ell}\Big)+\frac{q_{2}}{\ell}\right) =k\left(\frac{q_{1}+q_{2}}{\ell}-\frac{q_{1}d}{\ell^{2}}+\cdots\right).
  • No nosso caso q_{1}+q_{2}=0, então o termo de ordem 1/\ell some e o termo dominante para \ell\gg d é o seguinte: V_{Q}\approx -k\,\frac{q_{1}d}{\ell^{2}}+\cdotsou seja, o potencial decai como 1/\ell^{2} (com sinal determinado por -q_{1}d). Isso é a assinatura de um dipolo elétrico: como a soma das cargas é zero, o termo monopolar 1/\ell desaparece e sobra o comportamento dipolar de ordem 1/\ell^{2}.
  • Conclusão prática: para \ell\gg d o potencial em Q é aproximadamente zero ao primeiro termo monopolar (porque q_{1}+q_{2}=0), mas o valor real decai como 1/\ell^{2} (não é exatamente zero, a não ser que \ell\to\infty). Portanto dizer simplesmente V_{Q}\approx0 está correto no sentido de que o termo principal \propto 1/\ell é nulo; uma aproximação mais refinada é V_{Q}\approx -k q_{1}d/\ell^{2}.

Passo 7

Resumo interpretativo e motivador:
  • No ponto médio P o potencial cancela exatamente porque as contribuições escalares das duas cargas são iguais em módulo e de sinais opostos.
  • Em Q a expressão exata é V_{Q}=k\big(q_{1}/(d+\ell)+q_{2}/\ell\big). Para \ell\gg d o termo monopolar \propto1/\ell desaparece (já que q_{1}+q_{2}=0) e o potencial remanescente é de ordem 1/\ell^{2}, comportamento típico de um dipolo. Isso justifica a aproximação V_{Q}\approx0 se você está apenas olhando o primeiro termo em 1/\ell, mas atenção: o potencial real tende a zero com \ell, porém com a lei \sim1/\ell^{2}.

Resposta

V_{P}=k\left(\dfrac{q_{1}}{d/2}+\dfrac{q_{2}}{d/2}\right)=0
V_{Q}=k\left(\dfrac{q_{1}}{d+\ell}+\dfrac{q_{2}}{\ell}\right)\quad\text{e para }\ell\gg d:\;V_{Q}\approx k\,\dfrac{q_{1}+q_{2}}{\ell}\approx0 (mais precisamente V_{Q}\approx -k\,\dfrac{q_{1}d}{\ell^{2}} quando q_{1}+q_{2}=0).

Exercícios relacionados