(Lei de Gauss) Um fio retilíneo infinito tem densidade linear
. Usando uma superfície cilíndrica coaxial de raio
, calcule
e seu valor numérico. Resposta:
Em
:
, radial para fora.
Passo 1
O enunciado dá um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga
e pede o campo elétrico
numa distância radial
usando uma superfície cilíndrica coaxial. \nInformações relevantes fornecidas:
,
.
A resposta esperada é a expressão e o valor numérico correspondente ao
dado.
A resposta esperada é a expressão
Passo 2
Por simetria: o fio é infinito e uniforme, então o campo elétrico depende só da distância radial
e aponta radialmente (para fora se
). \nEscolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio
e comprimento arbitrária
. Essa escolha facilita porque o campo tem magnitude constante na superfície lateral do cilindro e é perpendicular a essa superfície.
Passo 3
Escrevemos a Lei de Gauss (em linguagem simples): a circulação do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga interna dividida por
:
Aqui
é o campo elétrico,
é o vetor área infinitesimal da superfície (direção normal para fora) e
é a permissividade do vácuo (
).
Passo 4
Calculamos a carga total contida no cilindro de comprimento
. Como
é carga por comprimento,
Expliquei:
tem unidade
, multiplicando por
(em metros) dá carga em coulombs.
Passo 5
Agora avaliamos o fluxo pela superfície de Gauss. A superfície fechada tem três partes: a tampa superior, a tampa inferior e a superfície lateral curva. \n- Nas tampas (planos) o vetor área aponta ao longo do eixo do fio, enquanto o campo
é radial (perpendicular ao eixo), então
nas duas tampas — ou seja, as tampas não contribuem para o fluxo.\n- Na superfície lateral,
aponta radialmente para fora e
também é radial com módulo constante
sobre essa superfície. Assim o integrando é constante e o fluxo pela lateral é
Expliquei: a área lateral de um cilindro é
.
Passo 6
Aplicamos a Lei de Gauss com o fluxo calculado e a carga interna:
Podemos cancelar
dos dois lados (porque a escolha de
foi arbitrária e
), obtendo a expressão para o campo:
Expliquei: cancelar
mostra que o resultado não depende do comprimento escolhido, consistente com a simetria do fio infinito.
Passo 7
Agora calculamos o valor numérico em
. Substituindo
e
:
Faço as contas passo a passo:
Direção: como
, o campo é radial para fora.
Passo 8
Cheque rápido de unidades:
tem
,
tem
(ou
), e dividindo obtemos
para
, consistente com campo elétrico. Também útil lembrar que
decresce como
(campo de linha infinita).