(Lei de Gauss) Um fio retilíneo infinito tem densidade linear \lambda=+2,0 \mathrm{nC} / \mathrm{m}. Usando uma superfície cilíndrica coaxial de raio r= 4,0 \mathrm{~cm}, calcule E(r) e seu valor numérico. Resposta: \quad E(r)=\frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_{0} r} . \quad Em r=0,040 \mathrm{~m} :
E \approx \frac{2,0 \times 10^{-9}}{2 \pi\left(8,85 \times 10^{-12}\right)(0,040)} \approx 9,0 \times 10^{2} \mathrm{~N} / \mathrm{C}, radial para fora.

Passo 1

O enunciado dá um fio retilíneo infinito com densidade linear de carga \lambda=+2{,}0\\ \mathrm{nC/m} e pede o campo elétrico E(r) numa distância radial r=4{,}0\\ \mathrm{cm} usando uma superfície cilíndrica coaxial. \nInformações relevantes fornecidas:
\lambda=+2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m},
r=4{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}040\\ \mathrm{m}.
A resposta esperada é a expressão \displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r} e o valor numérico correspondente ao r dado.

Passo 2

Por simetria: o fio é infinito e uniforme, então o campo elétrico depende só da distância radial r e aponta radialmente (para fora se \lambda>0). \nEscolhemos como superfície de Gauss um cilindro coaxial de raio r e comprimento arbitrária L. Essa escolha facilita porque o campo tem magnitude constante na superfície lateral do cilindro e é perpendicular a essa superfície.

Passo 3

Escrevemos a Lei de Gauss (em linguagem simples): a circulação do fluxo elétrico pela superfície fechada é igual à carga interna dividida por \varepsilon_{0}:
\oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui \vec{E} é o campo elétrico, d\vec{A} é o vetor área infinitesimal da superfície (direção normal para fora) e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).

Passo 4

Calculamos a carga total contida no cilindro de comprimento L. Como \lambda é carga por comprimento,
Q_{\text{int}}=\lambda L.
Expliquei: \lambda tem unidade \mathrm{C/m}, multiplicando por L (em metros) dá carga em coulombs.

Passo 5

Agora avaliamos o fluxo pela superfície de Gauss. A superfície fechada tem três partes: a tampa superior, a tampa inferior e a superfície lateral curva. \n- Nas tampas (planos) o vetor área aponta ao longo do eixo do fio, enquanto o campo \vec{E} é radial (perpendicular ao eixo), então \vec{E}\cdot d\vec{A}=0 nas duas tampas — ou seja, as tampas não contribuem para o fluxo.\n- Na superfície lateral, d\vec{A} aponta radialmente para fora e \vec{E} também é radial com módulo constante E(r) sobre essa superfície. Assim o integrando é constante e o fluxo pela lateral é
\Phi = E(r)\cdot \text{(área lateral)} = E(r)\cdot (2\pi r L).á
Expliquei: a área lateral de um cilindro é 2\pi r L.

Passo 6

Aplicamos a Lei de Gauss com o fluxo calculado e a carga interna:
E(r)\cdot (2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}.
Podemos cancelar L dos dois lados (porque a escolha de L foi arbitrária e L\neq0), obtendo a expressão para o campo:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}.
Expliquei: cancelar L mostra que o resultado não depende do comprimento escolhido, consistente com a simetria do fio infinito.

Passo 7

Agora calculamos o valor numérico em r=0{,}040\\ \mathrm{m}. Substituindo \lambda=2{,}0\times10^{-9}\\ \mathrm{C/m} e \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
E(0{,}040)=\frac{2{,}0\times10^{-9}}{2\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,(0{,}040)}.
Faço as contas passo a passo:
8{,}85\times10^{-12}\times0{,}040=3{,}54\times10^{-13},
2\pi\times3{,}54\times10^{-13}\approx2{,}2236\times10^{-12},
\frac{2{,}0\times10^{-9}}{2{,}2236\times10^{-12}}\approx8{,}992\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}\approx9{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}.
Direção: como \lambda>0, o campo é radial para fora.

Passo 8

Cheque rápido de unidades: \lambda tem \mathrm{C/m}, \varepsilon_{0} tem \mathrm{C^2/(N\,m^2)} (ou \mathrm{F/m}), e dividindo obtemos \mathrm{N/C} para E, consistente com campo elétrico. Também útil lembrar que E decresce como 1/r (campo de linha infinita).

Resposta

\displaystyle E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}r}\n \displaystyle E(0{,}040\\ \mathrm{m})\approx9{,}0\times10^{2}\\ \mathrm{N/C}, radial para fora.

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