- A lei de Newton da gravitação universal nos diz que
. Já a segunda lei de Newton do movimento nos diz que
.
a. Com um pouco de raciocínio algébrico, mostre que sua aceleração gravitacional em direção a qualquer planeta de massa
, a uma distância
de seu centro, é
.
a. Com um pouco de raciocínio algébrico, mostre que sua aceleração gravitacional em direção a qualquer planeta de massa
Passo 1
O enunciado dá duas leis de Newton e pede que você mostre, por álgebra simples, que a aceleração gravitacional de um corpo em direção a um planeta de massa
, a uma distância
do centro do planeta, é
.
Informações relevantes dadas:
Aqui
é a constante gravitacional,
e
são as massas que se atraem,
é a distância entre os centros das massas,
é a força gravitacional,
é a força resultante sobre o corpo que acelera,
é a massa do corpo que sofre a aceleração e
é a aceleração resultante.
Passo 2
Interpretação das letras do problema (para ficar tudo clarinho):
-
é a constante gravitacional universal (valor aproximado ). -
vamos usar para denotar a massa do planeta (corresponde a um dos ou da fórmula). -
será a massa do objeto que recebe a aceleração (corresponde ao outro ou ). -
é a distância entre os centros (do planeta ao objeto).
É importante entender que a lei da gravitação dá a força que atua entre as duas massas e a segunda lei relaciona força com aceleração do objeto.
Passo 3
Escrevendo explicitamente a força gravitacional entre o planeta (massa
) e o corpo (massa
):
Aqui
é a magnitude da força que o planeta exerce sobre o corpo.
Passo 4
Aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração do corpo: a segunda lei diz que a aceleração resultante do corpo é a força resultante dividida pela sua massa, ou seja,
No nosso caso a única força relevante é a força gravitacional
, então
. Substituímos
da lei da gravitação na expressão acima.
Passo 5
Substituição e simplificação algébrica (a parte matemática direta):
Agora simplificamos a massa
que aparece no numerador e no denominador:
Pronto: o
do corpo cancela, mostrando que a aceleração não depende da massa do corpo que cai.
Passo 6
Comentário sobre direção e forma vetorial (útil para a prova): a expressão acima é a magnitude da aceleração. A aceleração é dirigida para o centro do planeta. Em forma vetorial, se
for o versor que aponta do centro do planeta para o corpo, a aceleração é
onde o sinal negativo indica que
aponta no sentido oposto a
, ou seja, em direção ao centro do planeta.
Passo 7
Exemplo numérico para fixar (não necessário na prova, só pra sentir o resultado): usando os valores aproximados do planeta Terra
,
e
, temos
o famoso valor próximo a
. Isso mostra concretamente que corpos diferentes têm a mesma aceleração gravitacional num mesmo ponto perto da superfície.