1. A lei de Newton da gravitação universal nos diz que F=G \frac{m_{1} m_{2}}{d^{2}}. Já a segunda lei de Newton do movimento nos diz que a=\frac{F_{\mathrm{R}}}{m}.
    a. Com um pouco de raciocínio algébrico, mostre que sua aceleração gravitacional em direção a qualquer planeta de massa M, a uma distância d de seu centro, é a=\frac{G M}{d^{2}}.

Passo 1

O enunciado dá duas leis de Newton e pede que você mostre, por álgebra simples, que a aceleração gravitacional de um corpo em direção a um planeta de massa M, a uma distância d do centro do planeta, é a=\dfrac{G M}{d^{2}}.
Informações relevantes dadas:
F = G \frac{m_{1} m_{2}}{d^{2}}
a = \frac{F_{\mathrm{R}}}{m}
Aqui G é a constante gravitacional, m_{1} e m_{2} são as massas que se atraem, d é a distância entre os centros das massas, F é a força gravitacional, F_{\mathrm{R}} é a força resultante sobre o corpo que acelera, m é a massa do corpo que sofre a aceleração e a é a aceleração resultante.

Passo 2

Interpretação das letras do problema (para ficar tudo clarinho):
  • G é a constante gravitacional universal (valor aproximado 6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
  • M vamos usar para denotar a massa do planeta (corresponde a um dos m_{1} ou m_{2} da fórmula).
  • m será a massa do objeto que recebe a aceleração (corresponde ao outro m_{1} ou m_{2}).
  • d é a distância entre os centros (do planeta ao objeto).
    É importante entender que a lei da gravitação dá a força que atua entre as duas massas e a segunda lei relaciona força com aceleração do objeto.

Passo 3

Escrevendo explicitamente a força gravitacional entre o planeta (massa M) e o corpo (massa m):
F = G\,\frac{M\,m}{d^{2}}
Aqui F é a magnitude da força que o planeta exerce sobre o corpo.

Passo 4

Aplicando a segunda lei de Newton para encontrar a aceleração do corpo: a segunda lei diz que a aceleração resultante do corpo é a força resultante dividida pela sua massa, ou seja,
a = \frac{F_{\mathrm{R}}}{m}.
No nosso caso a única força relevante é a força gravitacional F, então F_{\mathrm{R}}=F. Substituímos F da lei da gravitação na expressão acima.

Passo 5

Substituição e simplificação algébrica (a parte matemática direta):
a = \frac{F}{m} = \frac{1}{m}\left(G\,\frac{M\,m}{d^{2}}\right).
Agora simplificamos a massa m que aparece no numerador e no denominador:
a = G\,\frac{M\,\cancel{m}}{d^{2}\,\cancel{m}} = G\,\frac{M}{d^{2}}.
Pronto: o m do corpo cancela, mostrando que a aceleração não depende da massa do corpo que cai.

Passo 6

Comentário sobre direção e forma vetorial (útil para a prova): a expressão acima é a magnitude da aceleração. A aceleração é dirigida para o centro do planeta. Em forma vetorial, se \hat{r} for o versor que aponta do centro do planeta para o corpo, a aceleração é
\vec{a} = -\,\frac{G\,M}{d^{2}}\,\hat{r},
onde o sinal negativo indica que \vec{a} aponta no sentido oposto a \hat{r}, ou seja, em direção ao centro do planeta.

Passo 7

Exemplo numérico para fixar (não necessário na prova, só pra sentir o resultado): usando os valores aproximados do planeta Terra G=6{,}674\times10^{-11}\,\mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}, M_{\oplus}=5{,}972\times10^{24}\,\mathrm{kg} e d=R_{\oplus}=6{,}371\times10^{6}\,\mathrm{m}, temos
a = \frac{G\,M_{\oplus}}{R_{\oplus}^{2}} \approx \frac{6{,}674\times10^{-11}\cdot 5{,}972\times10^{24}}{(6{,}371\times10^{6})^{2}}\approx 9{,}82\\ \mathrm{m\,s^{-2}},
o famoso valor próximo a 9{,}8\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. Isso mostra concretamente que corpos diferentes têm a mesma aceleração gravitacional num mesmo ponto perto da superfície.

Resposta

a=\dfrac{G\,M}{d^{2}}

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