1. Uma bola de tênis em movimento horizontal passa raspando por cima da rede de altura y em relação à superfície da quadra. Para aterrissar dentro da quadra, a bola náo deve estar se movendo muito rapidamente nesse instante.
    a. A fim de se manter dentro do limite da quadra, a uma distância horizontal d a partir da parte inferior da rede, mostre que a máxima velocidade da bola logo acima da rede é
v=\frac{d}{\sqrt{\frac{2 y}{g}}}
b. Suponha que a altura da rede seja de 1 m , e que o limite da quadra seja de 12 m em relação à parte inferior da rede. Use g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e mostre que a velocidade máxima da bola em movimento horizontal logo acima da rede é aproximadamente 27 \mathrm{~m} / \mathrm{s} (cerca de 97 \mathrm{~km} / \mathrm{h} ).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dado: a bola passa raspando por cima da rede a uma altura \,y\, em relação à superfície da quadra.
  • Dado: o deslocamento horizontal disponível até o limite da quadra, contado a partir da base (parte inferior) da rede, é \,d\,.
  • Dado: aceleração da gravidade \,g\, (valor numérico será usado na parte (b)).
  • Condição física implícita: naquele instante a velocidade da bola é puramente horizontal (ou seja, componente vertical inicial é zero) e a gravidade é a única aceleração vertical.
  • Pedido (a): mostrar que a velocidade máxima horizontal da bola logo acima da rede, para que ela ainda caia dentro da quadra a uma distância horizontal \,d\,, é
v=\frac{d}{\sqrt{\frac{2 y}{g}}}
  • Pedido (b): usando \,y=1\\ \mathrm{m}, \,d=12\\ \mathrm{m} e \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}, calcular numericamente essa velocidade máxima e expressá-la em \mathrm{m/s} (e em \mathrm{km/h} para comparação).

Passo 2

Vamos separar o movimento em horizontal e vertical (isso é básico em cinemática de projéteis). Explico de forma simples:
  • Horizontalmente: não há aceleração (ignorando resistência do ar), logo a velocidade horizontal é constante. Se a velocidade horizontal no instante imediatamente acima da rede for \,v\,, a posição horizontal depois de um tempo \,t\, será
x(t)=v\,t.
Aqui \,x(t)\, é a distância horizontal percorrida a partir do ponto acima da rede até o momento t.

Passo 3

  • Verticalmente: a bola inicia com componente vertical de velocidade igual a zero (pois está se movendo horizontalmente no instante considerado) e sofre aceleração vertical constante -g. Tomando a origem vertical em zero na superfície da quadra e a posição inicial vertical da bola igual a \,y\,, a equação da posição vertical é
y(t)=y - \frac{1}{2} g t^{2}.
Aqui y(t) é a altura da bola acima do chão no tempo t. A bola atinge o chão quando y(t)=0. Logo, para achar o tempo de queda t_{\text{queda}} resolvemos
0 = y - \frac{1}{2} g t^{2}.

Passo 4

Resolvendo a equação da queda para t (tempo positivo):
\frac{1}{2} g t^{2} = y
t^{2} = \frac{2y}{g}
t = \sqrt{\frac{2y}{g}}.
Comentário didático: essa fórmula é a clássica do tempo de queda livre a partir de uma altura y quando a velocidade vertical inicial é zero. Cada símbolo significa:
  • \,t\,: tempo que a bola leva até atingir o chão.
  • \,y\,: altura inicial acima do chão.
  • \,g\,: aceleração da gravidade (módulo).

Passo 5

Agora relacionamos o tempo de queda com o alcance horizontal: para que a bola caia dentro da quadra a uma distância horizontal não maior que \,d\,, a distância horizontal percorrida durante t deve ser menor ou igual a d. O caso limite (velocidade máxima que ainda permite cair exatamente no limite) satisfaz
v\,t = d.
Substituindo t=\sqrt{\frac{2y}{g}} obtemos a velocidade máxima v:
v = \frac{d}{t} = \frac{d}{\sqrt{\frac{2y}{g}}}.
Isso conclui a demonstração pedida na parte (a).

Passo 6

Agora a parte (b): usar os números \,y=1\\ \mathrm{m}, \,d=12\\ \mathrm{m}, \,g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}. Primeiro calculemos o tempo de queda:
t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2\cdot 1}{10}} = \sqrt{0,2} \approx 0,447\\ \mathrm{s}.
Em seguida a velocidade máxima:
v = \frac{d}{t} = \frac{12}{0,447} \approx 26,83\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando conforme pedido, isso dá aproximadamente \,27\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Conversão para \mathrm{km/h} (para comparar com velocidades comuns no tênis): multiplicamos por 3,6:
v \approx 26,83 \times 3,6 \approx 96,6\\ \mathrm{km/h},
ou, arredondando, cerca de \,97\\ \mathrm{km/h}.

Resposta

\displaystyle v=\frac{d}{\sqrt{\frac{2y}{g}}}
\displaystyle v\approx 27\\ \mathrm{m/s} \approx 97\\ \mathrm{km/h}

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