- Uma bola de tênis em movimento horizontal passa raspando por cima da rede de altura
em relação à superfície da quadra. Para aterrissar dentro da quadra, a bola náo deve estar se movendo muito rapidamente nesse instante.
a. A fim de se manter dentro do limite da quadra, a uma distância horizontal
a partir da parte inferior da rede, mostre que a máxima velocidade da bola logo acima da rede é
b. Suponha que a altura da rede seja de 1 m , e que o limite da quadra seja de 12 m em relação à parte inferior da rede. Use
e mostre que a velocidade máxima da bola em movimento horizontal logo acima da rede é aproximadamente
(cerca de
).
a. A fim de se manter dentro do limite da quadra, a uma distância horizontal
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Dado: a bola passa raspando por cima da rede a uma altura
em relação à superfície da quadra. - Dado: o deslocamento horizontal disponível até o limite da quadra, contado a partir da base (parte inferior) da rede, é
. - Dado: aceleração da gravidade
(valor numérico será usado na parte (b)). - Condição física implícita: naquele instante a velocidade da bola é puramente horizontal (ou seja, componente vertical inicial é zero) e a gravidade é a única aceleração vertical.
- Pedido (a): mostrar que a velocidade máxima horizontal da bola logo acima da rede, para que ela ainda caia dentro da quadra a uma distância horizontal
, é
- Pedido (b): usando
, e , calcular numericamente essa velocidade máxima e expressá-la em (e em para comparação).
Passo 2
Vamos separar o movimento em horizontal e vertical (isso é básico em cinemática de projéteis). Explico de forma simples:
- Horizontalmente: não há aceleração (ignorando resistência do ar), logo a velocidade horizontal é constante. Se a velocidade horizontal no instante imediatamente acima da rede for
, a posição horizontal depois de um tempo será
Aqui
é a distância horizontal percorrida a partir do ponto acima da rede até o momento
.
Passo 3
- Verticalmente: a bola inicia com componente vertical de velocidade igual a zero (pois está se movendo horizontalmente no instante considerado) e sofre aceleração vertical constante
. Tomando a origem vertical em zero na superfície da quadra e a posição inicial vertical da bola igual a , a equação da posição vertical é
Aqui
é a altura da bola acima do chão no tempo
. A bola atinge o chão quando
. Logo, para achar o tempo de queda
resolvemos
Passo 4
Resolvendo a equação da queda para
(tempo positivo):
Comentário didático: essa fórmula é a clássica do tempo de queda livre a partir de uma altura
quando a velocidade vertical inicial é zero. Cada símbolo significa:
-
: tempo que a bola leva até atingir o chão. -
: altura inicial acima do chão. -
: aceleração da gravidade (módulo).
Passo 5
Agora relacionamos o tempo de queda com o alcance horizontal: para que a bola caia dentro da quadra a uma distância horizontal não maior que
, a distância horizontal percorrida durante
deve ser menor ou igual a
. O caso limite (velocidade máxima que ainda permite cair exatamente no limite) satisfaz
Substituindo
obtemos a velocidade máxima
:
Isso conclui a demonstração pedida na parte (a).
Passo 6
Agora a parte (b): usar os números
,
,
. Primeiro calculemos o tempo de queda:
Em seguida a velocidade máxima:
Arredondando conforme pedido, isso dá aproximadamente
.
Passo 7
Conversão para
(para comparar com velocidades comuns no tênis): multiplicamos por
:
ou, arredondando, cerca de
.