1- Um trocador de calor bitubular com comprimento \mathrm{L}=2 \mathrm{~m} é usado para processar termicamente um produto farmacēutico escoando com uma velocidade média de u_{m, f}=0,4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, com uma temperatura de entrada de T_{f, e n t}=25^{\circ} \mathrm{O}. O tubo interno, com diâmetro Di =10 \mathrm{~mm} tem parede delgada e a parte externa do tubo externo ( \mathrm{De}=20 \mathrm{~mm} ) encontra-se termicamente isolada. Agua escoa na região anular entre os tubos com uma velocidade média de u_{m, q}=0,2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e com uma temperatura de entrada de T_{q, e n t}=60^{\circ} \mathrm{C}. As propriedades do produto farmacêutico são \mu=0,011 \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}, \mathrm{k}=0,25 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), \rho=1100 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e cp =2460 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}). Para a água temos: \mu=557 \times 10^{-6} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}, k= 640 x 10^{-3} \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}), \rho=990 \mathrm{~kg} / \mathrm{m} 3 e cp =4180 \mathrm{~J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
(a) Determine o valor do coeficiente global de transferencia de calor U,
(b) Determine a temperatura média na saída do produto farmacêutico com o trocador operando em contracorrente.
(c) Determine a temperatura média na saida do produto farmacêutico com o trocador operando em paralelo.
Passo 1
Vou listar de forma bem clara o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos (pegos do enunciado):
O que o enunciado pede:
(a) Determinar o coeficiente global de transferência de calor U (considerando parede delgada e isolamento externo do tubo externo).
(b) Determinar a temperatura média de saída do produto farmacêutico para escoamento em contracorrente.
(c) Determinar a temperatura média de saída do produto farmacêutico para escoamento em paralelo.
Passo 2
Plano de ação e fórmulas que vamos usar (sem resolver ainda):
Calcular áreas de escoamento e vazões mássicas: \dot m=\rho\,u_m\,A_{flow}.
Calcular números adimensionais para cada corrente:
Determinar regime de escoamento a partir de Re (laminar se Re\lesssim2300, turbulento se Re\gtrsim2300).
Estimar o número de Nusselt médio \overline{Nu} para cada lado:
Para o fluido no tubo interno (produto) com fluxo laminar desenvolvido termicamente / em desenvolvimento, usar a correlação apropriada para fluxo laminar em tubo: \displaystyle \overline{Nu}=3{,}66+\frac{0{,}0668\,(Re\,Pr\,D/L)}{1+0{,}04\,(Re\,Pr\,D/L)^{2/3}} (média para condição parede temperatura constante; é uma fórmula conhecida para tubo laminar em desenvolvimento térmico).
Para o anular (água), usar correlação de Gnielinski quando Re>2300: \displaystyle \overline{Nu}=\frac{(f/8)\,(Re-1000)\,Pr}{1+12{,}7\,(f/8)^{1/2}\,(Pr^{2/3}-1)}, com fator de atrito aproximado por Blasius para tubo suave: \displaystyle f\approx0{,}3164\,Re^{-0{,}25} (válido aproximado em regime turbulento moderado).
Converter \overline{Nu} em coeficiente convectivo: \displaystyle h=\frac{\overline{Nu}\,k}{D}.
Como a parede é delgada, a resistência da parede será desprezada; assim o coeficiente global por unidade de área da superfície do tubo interno (área baseada em \mathrm{D_i}) é:\displaystyle \frac{1}{U}=\frac{1}{h_f}+\frac{1}{h_q}.
Para temperaturas de saída: usar método NTU/efetividade.
Área de troca A=\pi\,\mathrm{D_i}\,L.
\displaystyle C=\dot m\,c_p para cada corrente. C_{min} e C_{max}.
\displaystyle NTU=\frac{U A}{C_{min}}.
Efetividade para contracorrente (quando C_r=C_{min}/C_{max}\neq1):\varepsilon_{cc}=\frac{1-\exp\big(-NTU(1-C_r)\big)}{1-C_r\exp\big(-NTU(1-C_r)\big)}.
Efetividade para paralelo:\varepsilon_{par}=\frac{1-\exp\big(-NTU(1+C_r)\big)}{1+C_r}.
Interpretação: Re_f\approx400 indica escoamento laminar. Além disso, Pr_f alto (≈108) significa que a difusão térmica é bem mais lenta que a difusão de quantidade de movimento, o que alonga a zona de entrada térmica.
Passo 5
Estimativa do número de Nusselt médio para o produto (tubo interno) — explico a correlação que uso e por quê.
O tubo é longo, mas a estimativa da extensão da região de entrada térmica é grande porque Re_f\,Pr_f é grande; portanto o escoamento está em regime laminar e termicamente em desenvolvimento ao longo de quase todo o comprimento. Uma correlação prática para Nusselt médio em tubo laminar em desenvolvimento (condição de parede com temperatura constante) é:
Calculemos as potências: (216{,}48)^{1/3}\approx6{,}001 \Rightarrow (216{,}48)^{2/3}\approx36{,}012. Então o denominador é 1+0{,}04\cdot36{,}012\approx1{,}4405\Rightarrow2{,}4405 (lembrando da adição com 1).
O numerador é 0{,}0668\cdot216{,}48\approx14{,}461.
Portanto
Interpretação: Re_q\approx3556 está acima de 2300 (regime de transição / início de turbulência). Para estimativa prática de \overline{Nu}_q podemos usar a correlação de Gnielinski (válida para Re acima de cerca de 2300), combinada com um fator de atrito estimado por Blasius (aproximação para tubos lisos em regime turbulento moderado).
Passo 7
Cálculo do número de Nusselt médio para a água (correlação de Gnielinski). Explico a fórmula e cada termo.
Cálculo do coeficiente global de transferência de calor U.
Para parede delgada e sem resistência externa adicional, a resistência térmica por unidade de área (baseada na área do tubo interno) é a soma das resistências convectivas:
(Valor calculado com maior precisão no fluxo completo deu \varepsilon_{cc}\approx0{,}1375; aqui mantemos 3 casas relevantes: \varepsilon_{cc}\approx0{,}137.)
Observação: a diferença entre contracorrente e paralelo é pequena porque NTU é pequeno; contracorrente sempre entrega ligeiramente maior aquecimento do frio, o que se reflete nos valores.