(Lei de Newton do resfriamento) Uma pequena esfera de cobre sólida que, inicialmente (
), está a uma temperatura
é colocada em um grande tanque cheio de água fervente a uma temperatura
. Como esperado, o calor é transferido da água para a esfera, e a temperatura da água começa a subir. A massa
, a área superficial
, o calor específico da esfera
e o coeficiente de transferência de calor por convecção
são tais que
. A equação diferencial que rege esse processo foi determinada como
ou na sua forma-padrão como
Então, podemos notar que a constante de tempo é
. Com base nessa constante, podemos dizer que uma esfera que tenha uma grande quantidade de massa
ou um valor elevado de calor específico
irá se aquecer mais lentamente, o que faz sentido, já que mais energia é necessária para aumentar a temperatura da esfera. De maneira similar, uma esfera que tenha uma pequena área superficial também se aquecerá mais lentamente, pois o calor deve ser transferido por uma área superficial menor.
Para nosso problema específico,
e
Determine a temperatura na esfera para um tempo
por meio da resolução do problema de valor inicial.
Passo 1
Nessa questão, a gente tem uma esfera de cobre inicialmente a 20 °C mergulhada em um banho a 100 °C, e a equação que descreve o aquecimento pela lei de resfriamento de Newton é
, onde
. Queremos resolver esse PVI para achar
e depois calcular em
.
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo temos
. Agora integramos ambos os lados.
Passo 3
Integrando, obtemos
onde
com
. Rearranjando chega-se a
Passo 4
Usando a condição inicial
, temos
Passo 5
Logo a solução particular é
Passo 6
Substituindo
,
e
,
Passo 7
Para valor numérico, sabendo
, temos