(Lei de Newton do resfriamento) Uma pequena esfera de cobre sólida que, inicialmente ( t=0 ), está a uma temperatura T1=20^circ C é colocada em um grande tanque cheio de água fervente a uma temperatura T0=100^circ C. Como esperado, o calor é transferido da água para a esfera, e a temperatura da água começa a subir. A massa m, a área superficial A, o calor específico da esfera c e o coeficiente de transferência de calor por convecção h são tais que lambda=h A / m c=0,1 s^-1. A equação diferencial que rege esse processo foi determinada como
d Td t=lambda(T0-T)
ou na sua forma-padrão como
1lambda d Td t+T=T0
Então, podemos notar que a constante de tempo é tau=1 / lambda=m C / h a. Com base nessa constante, podemos dizer que uma esfera que tenha uma grande quantidade de massa m ou um valor elevado de calor específico c irá se aquecer mais lentamente, o que faz sentido, já que mais energia é necessária para aumentar a temperatura da esfera. De maneira similar, uma esfera que tenha uma pequena área superficial também se aquecerá mais lentamente, pois o calor deve ser transferido por uma área superficial menor.
Para nosso problema específico, T0=100^circ C e
T(0)=T1=20^circ C
Determine a temperatura na esfera para um tempo t=20 s por meio da resolução do problema de valor inicial.

Passo 1

Nessa questão, a gente tem uma esfera de cobre inicialmente a 20 °C mergulhada em um banho a 100 °C, e a equação que descreve o aquecimento pela lei de resfriamento de Newton é dTdt=lambda(T0-T), onde lambda=0,1,s^-1. Queremos resolver esse PVI para achar T(t) e depois calcular em t=20,s.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo temos dTT0-T=lambda,dt. Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integrando, obtemos
-ln|T0-T|=lambda t+C,
onde C é a constante de integração. Exponenciando, fica
T0-T=Ae^-lambda t,
com A=e^-C. Rearranjando chega-se a
T(t)=T0-Ae^-lambda t

Passo 4

Usando a condição inicial T(0)=T1, temos
T1=T0-ARightarrow A=T0-T1

Passo 5

Logo a solução particular é
T(t)=T0-(T0-T1)e^-lambda t

Passo 6

Substituindo T0=100, T1=20 e lambda=0,1,
T(20)=100-(100-20)e^-0,1times20=100-80e^-2

Passo 7

Para valor numérico, sabendo e^-2approx0,1353, temos
T(20)approx100-80times0,1353approx89,18,^circC

Resposta

T(20)=100-80e^-2approx89,18,^circC

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